目次／数検対策（準2級・2級・準1級）／数検準2級

第8章　準2級 n進法

—— 整数の性質第4章の「n 進法の表し方・変換・計算・底や数字の決定」を、数検準2級の出題形式で ——

数検準2級の「n 進法」の類題です。10 進法と n 進法の変換、16 進法と 2 進法、n 進法の小数と計算、けた数、底や各位の数字を求める問題、n 進法での倍数の判定、おもりの問題までを20問にまとめました。j11 だけは n 進法の循環小数（整数の性質第6章）を使います。2次（数理技能）では、「$abcd_{(5)} = 125a + 25b + 5c + d$」のように位の重みを書き出してから式を立てることを練習します。

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1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

未回答 20× 0○ 01か月定着 0

出題のポイント

この章で使う道具（整数の性質第4章・第6章）

$n$ 進法の数は位の重みで展開します： $abcd_{(n)}$ ${}= an^3$ ${}+ bn^2$ ${}+ cn$ ${}+ d$ ， $0.ab_{(n)}$ ${}= \dfrac{a}{n}$ ${}+ \dfrac{b}{n^2}$ 。各位の数字は $0$ 以上 $n$ ${}- 1$ 以下で、最上位は $0$ ではありません。
$10$ 進法 → $n$ 進法：整数部分は $n$ で割り続けて余りを下から読み、小数部分は $n$ を掛け続けて整数部分を上から読みます。
$2$ 進法と $16$ 進法は、 $2$ 進法を下から $4$ けたずつ区切ると $16$ 進法の $1$ けたに対応します（ $8$ 進法なら $3$ けたずつ）。
けた数： $N$ が $n$ 進法で $k$ けた $\iff n^{k-1}$ ${}\leqq N$ ${}< n^k$ 。
倍数の判定： $n$ 進法では、各位の数字の和で $n$ ${}- 1$ の倍数を、一の位から交互に足し引きした値で $n$ ${}+ 1$ の倍数を判定できます（ $n^k$ ${}- 1$ が $n$ ${}- 1$ の倍数、 $n^k$ ${}- (-1)^k$ が $n$ ${}+ 1$ の倍数であることから）。
有限小数：既約分数 $\dfrac{p}{q}$ が $n$ 進法で有限小数になるのは、 $q$ の素因数がすべて $n$ の素因数であるときです。
循環小数： $0.\dot{a}\dot{b}_{(n)}$ ${}= \dfrac{an + b}{n^2 - 1}$ （循環節を $n^2$ 倍して引く）。

1次（計算技能）：変換の答えには必ず底の添え字 $_{(n)}$ を付けます。 $16$ 進法の $10$ 〜 $15$ は $\mathrm{A}$ 〜 $\mathrm{F}$ です。
2次（数理技能）：底 $n$ を求める問題では、方程式を解いたあと「各位の数字は $n$ ${}- 1$ 以下」の条件で解を選ぶ一文を書きます。 $n$ ${}= -1$ のような解を黙って捨てないことが、部分点につながります。
倍数の判定や「平方数にならない」の証明は、 $abcd_{(n)}$ を位の重みで展開した式を最初に書き、その式を変形して示します。
個数や総和を求める問題は、「各位ごとに、どの数字が何回現れるか」を数えると見通しがよくなります。

n 進法の問題は、まず「位の重み $n^k$ で展開した式」に直すと、10 進法の整数・方程式の問題として解けます。

類題（全20問）

難易度マークは ★＝基礎、★★＝標準、★★★＝難問です。★から順に取り組みましょう。

問1　★

(1) $101110_{(2)}$ 　　(2) $3412_{(5)}$

上の (1)(2) を、それぞれ $10$ 進法で表しなさい。

つまずいたときは：

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答え

(1) $46$ 　(2) $482$

解説

位の重みを掛けて足します。

(1) $1 \cdot 2^5$ ${}+ 0 \cdot 2^4$ ${}+ 1 \cdot 2^3$ ${}+ 1 \cdot 2^2$ ${}+ 1 \cdot 2$ ${}+ 0$ ${}= 32$ ${}+ 8$ ${}+ 4$ ${}+ 2$ ${}= \underline{46}$

(2) $3 \cdot 5^3$ ${}+ 4 \cdot 5^2$ ${}+ 1 \cdot 5$ ${}+ 2$ ${}= 375$ ${}+ 100$ ${}+ 5$ ${}+ 2$ ${}= \underline{482}$

自己採点：

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問2　★

$250$ を (1) $3$ 進法　(2) $8$ 進法　で表しなさい。

つまずいたときは：

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答え

(1) $100021_{(3)}$ 　(2) $372_{(8)}$

解説

(1) $3$ で割り続けます。

\begin{array}{r|l r} 3 & 250 & \cdots \ 1 \\ \hline 3 & 83 & \cdots \ 2 \\ \hline 3 & 27 & \cdots \ 0 \\ \hline 3 & 9 & \cdots \ 0 \\ \hline 3 & 3 & \cdots \ 0 \\ \hline & 1 & \end{array}

余りを下から読んで $\underline{100021_{(3)}}$ です。（確かめ） $243$ ${}+ 2 \cdot 3$ ${}+ 1$ ${}= 250$

(2) $250$ ${}= 8 \cdot 31$ ${}+ 2$ ， $31$ ${}= 8 \cdot 3$ ${}+ 7$ なので、 $\underline{372_{(8)}}$ です。（確かめ） $3 \cdot 64$ ${}+ 7 \cdot 8$ ${}+ 2$ ${}= 250$

自己採点：

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問3　★

$3\mathrm{C}7_{(16)}$ を (1) $10$ 進法　(2) $2$ 進法　で表しなさい。

つまずいたときは：

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答え

(1) $967$ 　(2) $1111000111_{(2)}$

解説

$\mathrm{C}$ は $12$ を表します。

(1) $3 \cdot 16^2$ ${}+ 12 \cdot 16$ ${}+ 7$ ${}= 768$ ${}+ 192$ ${}+ 7$ ${}= \underline{967}$

(2) $16$ ${}= 2^4$ なので、 $16$ 進法の $1$ けたを $2$ 進法の $4$ けたに置きかえます。

\displaystyle 3

並べて先頭の $0$ を除き、 $\underline{1111000111_{(2)}}$ です。

自己採点：

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問4　★

(1) $2.24_{(5)}$ を $10$ 進法で表しなさい。(2) $10.625$ を $2$ 進法で表しなさい。

つまずいたときは：

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答え

(1) $2.56$ 　(2) $1010.101_{(2)}$

解説

(1) $2$ ${}+ \dfrac{2}{5}$ ${}+ \dfrac{4}{25}$ ${}= 2$ ${}+ 0.4$ ${}+ 0.16$ ${}= \underline{2.56}$

(2) 整数部分は $10$ ${}= 1010_{(2)}$ です。小数部分は $2$ を掛け続けます。

\begin{aligned} 0.625 \times 2 &= 1.25 &&\rightarrow\ 1 \\ 0.25 \times 2 &= 0.5 &&\rightarrow\ 0 \\ 0.5 \times 2 &= 1 &&\rightarrow\ 1 \end{aligned}

整数部分を上から読んで $0.101_{(2)}$ なので、 $\underline{1010.101_{(2)}}$ です。

自己採点：

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問5　★

(1) $2102_{(3)}$ ${}+ 1221_{(3)}$ 　　(2) $23_{(4)} \times 32_{(4)}$

上の (1)(2) を計算し、答えをそれぞれ同じ $n$ 進法で表しなさい。

つまずいたときは：

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答え

(1) $11100_{(3)}$ 　(2) $2122_{(4)}$

解説

(1) 一の位から、 $3$ になったら繰り上げて計算します。

一の位： $2$ ${}+ 1$ ${}= 3$ → $0$ で $1$ 繰り上げ
$3$ の位： $0$ ${}+ 2$ ${}+ 1$ ${}= 3$ → $0$ で $1$ 繰り上げ
$3^2$ の位： $1$ ${}+ 2$ ${}+ 1$ ${}= 4$ → $1$ で $1$ 繰り上げ
$3^3$ の位： $2$ ${}+ 1$ ${}+ 1$ ${}= 4$ → $1$ で $1$ 繰り上げ

よって $\underline{11100_{(3)}}$ です。（確かめ） $65$ ${}+ 52$ ${}= 117$ ${}= 81$ ${}+ 27$ ${}+ 9$

(2) $10$ 進法に直すと $23_{(4)}$ ${}= 11$ ， $32_{(4)}$ ${}= 14$ で、積は $154$ です。 $154$ ${}= 4 \cdot 38$ ${}+ 2$ ， $38$ ${}= 4 \cdot 9$ ${}+ 2$ ， $9$ ${}= 4 \cdot 2$ ${}+ 1$ より $\underline{2122_{(4)}}$ です。

自己採点：

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問6　★

$110110_{(2)}$ ， $2001_{(3)}$ ， $311_{(4)}$ ， $211_{(5)}$ を小さい順に並べたものを求めなさい。

つまずいたときは：

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答え

$311_{(4)}$ ${}< 110110_{(2)}$ ${}< 2001_{(3)}$ ${}< 211_{(5)}$

解説

$10$ 進法に直して比べます。

\displaystyle 110110_{(2)}

よって $\underline{311_{(4)}}$ ${}< \underline{110110_{(2)}}$ ${}< \underline{2001_{(3)}}$ ${}< \underline{211_{(5)}}$ です。

自己採点：

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問7　★

$n$ 進法で表すと $3$ けたになる自然数のうち、最大のものは $10$ 進法で $215$ である。 $n$ を求めなさい。

つまずいたときは：

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答え

$n$ ${}= 6$

解説

$n$ 進法で $4$ けたになる最小の数は $1000_{(n)}$ ${}= n^3$ なので、 $3$ けたの最大の数は $n^3$ ${}- 1$ です。

$n^3$ ${}- 1$ ${}= 215$ より $n^3$ ${}= 216$ ${}= 6^3$ 、よって $\underline{n = 6}$ です。（確かめ） $555_{(6)}$ ${}= 180$ ${}+ 30$ ${}+ 5$ ${}= 215$

自己採点：

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問8　★

$3^{20}$ を (1) $9$ 進法　(2) $27$ 進法　で表すと、それぞれ何けたになるか求めなさい。

つまずいたときは：

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答え

(1) $11$ けた　(2) $7$ けた

解説

(1) $3^{20}$ ${}= 9^{10}$ なので、 $9$ 進法では $1$ の後に $0$ が $10$ 個並びます。よって $\underline{11 \ \text{けた}}$ です。

(2) $27^6$ ${}= 3^{18}$ ， $27^7$ ${}= 3^{21}$ なので $27^6$ ${}\leqq 3^{20}$ ${}< 27^7$ です。よって $\underline{7 \ \text{けた}}$ です。（ $3^{20}$ ${}= 9 \cdot 27^6$ で、最上位の数字は $9$ です。）

自己採点：

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問9　★★

$a$ ， $b$ ， $c$ ， $d$ を $0$ 以上 $4$ 以下の整数とし、 $a$ ${}\neq 0$ とする。(1) $5$ 進法で表された数 $abcd_{(5)}$ が $6$ の倍数であることと、 $-a$ ${}+ b$ ${}- c$ ${}+ d$ が $6$ の倍数であることは同じであることを示しなさい。(2) $3410_{(5)}$ と $4132_{(5)}$ のうち、 $6$ の倍数であるものを求めなさい。

つまずいたときは：

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答え

(1) $abcd_{(5)}$ ${}= 6(21a + 4b + c)$ ${}+ (-a + b - c + d)$ から示す。(2) $3410_{(5)}$

解説

(1) 位の重みで展開し、 $6$ の倍数を取り出します。

\displaystyle abcd_{(5)}

$6(21a + 4b + c)$ は $6$ の倍数なので、 $abcd_{(5)}$ と $-a$ ${}+ b$ ${}- c$ ${}+ d$ の差は $6$ の倍数です。よって、一方が $6$ の倍数であれば他方も $6$ の倍数です。（証明終）

(2) (1) の判定を使います。

$3410_{(5)}$ ： $-3$ ${}+ 4$ ${}- 1$ ${}+ 0$ ${}= 0$ で、 $6$ の倍数です。
$4132_{(5)}$ ： $-4$ ${}+ 1$ ${}- 3$ ${}+ 2$ ${}= -4$ で、 $6$ の倍数ではありません。

よって $\underline{3410_{(5)}}$ です。（確かめ） $3410_{(5)}$ ${}= 480$ ${}= 6 \times 80$ ， $4132_{(5)}$ ${}= 542$ ${}= 6 \times 90$ ${}+ 2$

$10$ 進法で $11$ ${}= 10$ ${}+ 1$ の倍数を交互の和で判定するのと同じしくみで、 $5$ 進法では $5$ ${}+ 1$ ${}= 6$ の倍数が判定できます。

自己採点：

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問10　★★

分数 $\dfrac{7}{40}$ を $2$ 進法， $5$ 進法， $6$ 進法， $10$ 進法， $20$ 進法で表すとき、有限小数になるものをすべて求めなさい。また、その理由を示しなさい。

つまずいたときは：

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答え

$10$ 進法と $20$ 進法（ $\dfrac{7}{40}$ が $n$ 進法で有限小数 $\iff$ $n^k$ が $40$ ${}= 2^3 \cdot 5$ の倍数となる $k$ がある）

解説

有限小数になる条件　 $\dfrac{7}{40}$ が $n$ 進法で小数第 $k$ 位までの有限小数になるのは、ある整数 $m$ で $\dfrac{7}{40}$ ${}= \dfrac{m}{n^k}$ と書けるときです。

このとき $7n^k$ ${}= 40m$ で、 $7$ と $40$ は互いに素なので、 $n^k$ は $40$ の倍数です。
逆に $n^k$ が $40$ の倍数なら、 $\dfrac{7}{40}$ ${}= \dfrac{7 \cdot \frac{n^k}{40}}{n^k}$ と書けるので、小数第 $k$ 位までの有限小数です。

つまり「 $n^k$ が $40$ ${}= 2^3 \cdot 5$ の倍数になる自然数 $k$ があるか」を調べます。

$2$ 進法： $2^k$ は素因数 $5$ をもたないので、 $40$ の倍数になりません。
$5$ 進法： $5^k$ は素因数 $2$ をもたないので、なりません。
$6$ 進法： $6^k$ ${}= 2^k \cdot 3^k$ は素因数 $5$ をもたないので、なりません。
$10$ 進法： $10^3$ ${}= 1000$ ${}= 40 \times 25$ で、なります。 $\dfrac{7}{40}$ ${}= \dfrac{175}{1000}$ ${}= 0.175$
$20$ 進法： $20^2$ ${}= 400$ ${}= 40 \times 10$ で、なります。 $\dfrac{7}{40}$ ${}= \dfrac{70}{20^2}$ ${}= \dfrac{3}{20}$ ${}+ \dfrac{10}{20^2}$ なので $0.3\mathrm{A}_{(20)}$

よって、有限小数になるのは $\underline{10 \ \text{進法と}\ 20 \ \text{進法}}$ です。

$n$ が $2$ と $5$ の両方を素因数にもつことが条件で、 $10$ 進法で有限小数になる分数の条件（分母の素因数が $2$ と $5$ だけ）を、底 $n$ に広げたものです。

自己採点：

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問11　★★

(1) $5$ 進法の循環小数 $0.\dot{1}\dot{3}_{(5)}$ を、 $10$ 進法の既約分数で表しなさい。(2) $\dfrac{3}{4}$ を $3$ 進法の小数で表しなさい。

つまずいたときは：

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答え

(1) $\dfrac{1}{3}$ 　(2) $0.\dot{2}\dot{0}_{(3)}$

解説

(1) $x$ ${}= 0.\dot{1}\dot{3}_{(5)}$ とおきます。 $5$ 進法では $5^2$ ${}= 25$ を掛けると小数点が $2$ けた右へずれるので

\displaystyle 25x

辺ごとに引くと、循環する部分が消えて $24x$ ${}= 13_{(5)}$ ${}= 5$ ${}+ 3$ ${}= 8$ です。よって $x$ ${}= \dfrac{8}{24}$ ${}= \underline{\dfrac{1}{3}}$ です。

(2) $3$ を掛け続けて、整数部分を取り出します。

\begin{aligned} \frac{3}{4} \times 3 &= \frac{9}{4} = 2 + \frac{1}{4} &&\rightarrow\ 2 \\ \frac{1}{4} \times 3 &= \frac{3}{4} &&\rightarrow\ 0 \end{aligned}

小数部分が最初の $\dfrac{3}{4}$ に戻ったので、以後は $2,$ $\ 0$ がくり返されます。よって $\underline{0.\dot{2}\dot{0}_{(3)}}$ です。

（確かめ）(1) と同じ方法で $0.\dot{2}\dot{0}_{(3)}$ ${}= \dfrac{20_{(3)}}{3^2 - 1}$ ${}= \dfrac{6}{8}$ ${}= \dfrac{3}{4}$ です。

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問12　★★

$a$ ， $b$ を $1$ 以上 $6$ 以下の整数とする。(1) $7$ 進法で表された2けたの数 $ab_{(7)}$ と、数字を入れかえた $ba_{(7)}$ の差 $ab_{(7)}$ ${}- ba_{(7)}$ は、 $6$ の倍数であることを示しなさい。(2) $ab_{(7)}$ ${}- ba_{(7)}$ が $10$ 進法で $24$ となる $a$ ， $b$ の組をすべて求めなさい。

つまずいたときは：

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答え

(1) $ab_{(7)}$ ${}- ba_{(7)}$ ${}= 6(a - b)$ から示す。(2) $(a,\ b)$ ${}= (5,\ 1),$ $\ (6,\ 2)$

解説

(1) 位の重みで展開すると

\displaystyle ab_{(7)}

$a$ ${}- b$ は整数なので、差は $6$ の倍数です。（証明終）

(2) (1) より $6(a - b)$ ${}= 24$ 、つまり $a$ ${}- b$ ${}= 4$ です。 $1$ ${}\leqq b$ かつ $a$ ${}= b$ ${}+ 4$ ${}\leqq 6$ より $b$ ${}= 1,$ $\ 2$ なので

\displaystyle \underline{\rule[-0.25em]{0em}{1.0000em}(a,\ b) = (5,\ 1),}

（確かめ） $51_{(7)}$ ${}- 15_{(7)}$ ${}= 36$ ${}- 12$ ${}= 24$ ， $62_{(7)}$ ${}- 26_{(7)}$ ${}= 44$ ${}- 20$ ${}= 24$

$10$ 進法で「2けたの数と入れかえた数の差は $9$ の倍数」になるのと同じで、 $n$ 進法では $n$ ${}- 1$ の倍数になります。

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問13　★★

ある $n$ 進法で、等式 $23 \times 14$ ${}= 355$ が成り立つ。 $n$ を求めなさい。

つまずいたときは：

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答え

$n$ ${}= 7$

解説

数字 $5$ が使われているので、 $n$ ${}\geqq 6$ です。

$10$ 進法で表すと、 $23_{(n)}$ ${}= 2n$ ${}+ 3$ ， $14_{(n)}$ ${}= n$ ${}+ 4$ ， $355_{(n)}$ ${}= 3n^2$ ${}+ 5n$ ${}+ 5$ なので

\displaystyle (2n + 3)(n + 4)

$n$ ${}\geqq 6$ より $n$ ${}= -1$ は適さないので、 $\underline{n = 7}$ です。

（確かめ） $23_{(7)}$ ${}= 17$ ， $14_{(7)}$ ${}= 11$ ， $17 \times 11$ ${}= 187$ ${}= 3 \cdot 49$ ${}+ 5 \cdot 7$ ${}+ 5$ ${}= 355_{(7)}$

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問14　★★

$1$ g， $2$ g， $4$ g， $8$ g， $\ldots$ のように、 $1$ g から始めて $2$ 倍ずつ重くなるおもりが $1$ 個ずつある。これを軽いものから順に何個か用意し、天秤の一方の皿に品物、もう一方の皿におもりだけをのせて、 $1$ g から $1000$ g までのすべての整数の重さを量れるようにしたい。(1) 用意するおもりの最小の個数を求めなさい。(2) (1) のおもりで $700$ g の品物を量るとき、のせるおもりをすべて求めなさい。

つまずいたときは：

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答え

(1) $10$ 個　(2) $4$ g， $8$ g， $16$ g， $32$ g， $128$ g， $512$ g

解説

(1) $m$ 個用意したとき、おもりは $1,$ $\ 2,$ $\ \ldots,$ $\ 2^{m-1}$ g で、合計は

\displaystyle 1

これより重いものは量れないので、 $2^m$ ${}- 1$ ${}\geqq 1000$ が必要です。 $2^9$ ${}- 1$ ${}= 511$ ， $2^{10}$ ${}- 1$ ${}= 1023$ より $m$ ${}\geqq 10$ です。

逆に $m$ ${}= 10$ のとき、 $1$ 以上 $1023$ 以下の整数 $N$ は $2$ 進法で $10$ けた以下で表せます。 $N$ の $2$ 進法で数字が $1$ である位の $2^i$ g のおもりをのせれば、ちょうど $N$ g になります。よって $1000$ g までのすべての重さが量れ、最小の個数は $\underline{10 \ \text{個}}$ です。

(2) $700$ を $2$ 進法で表します。大きい $2$ の累乗から引いていくと

\displaystyle 700

なので $700$ ${}= 1010111100_{(2)}$ です。のせるおもりは $\underline{4\ \text{g}}$ ， $\underline{8\ \text{g}}$ ， $\underline{16\ \text{g}}$ ， $\underline{32\ \text{g}}$ ， $\underline{128\ \text{g}}$ ， $\underline{512\ \text{g}}$ です。

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問15　★★

$2$ 進法で表すと $8$ けたになり、数字 $1$ がちょうど $3$ 個現れる自然数を考える。このような自然数の個数と、それらすべての和を $10$ 進法で求めなさい。

つまずいたときは：

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答え

個数 $21$ 個，和 $3450$

解説

個数　 $8$ けたなので、最上位（ $2^7$ の位）の数字は $1$ です。残りの $7$ つの位（ $2^6$ 〜 $2^0$ の位）から、数字が $1$ になる $2$ つの位を選ぶので

\displaystyle {}_7\mathrm{C}_2

和　位ごとに、数字 $1$ が何回現れるかを数えます。

$2^7$ の位： $21$ 個すべてで $1$ なので、合計 $2^7 \times 21$ ${}= 2688$
$2^i$ の位（ $i$ ${}= 0,$ $\ 1,$ $\ \ldots,$ $\ 6$ ）：その位が $1$ のとき、もう $1$ つの位を残りの $6$ つから選ぶので、 $1$ になるのは ${}_6\mathrm{C}_1$ ${}= 6$ 個

よって和は

\displaystyle 2688

（確かめ）最小は $10000011_{(2)}$ ${}= 131$ 、最大は $11100000_{(2)}$ ${}= 224$ で、平均 $\dfrac{3450}{21}$ ${}\fallingdotseq 164$ はその間にあります。

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問16　★★

$3$ 以上の整数 $n$ について、 $n$ 進法の小数 $0.12_{(n)}$ が $10$ 進法で $\dfrac{5}{32}$ に等しいとき、 $n$ を求めなさい。

つまずいたときは：

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答え

$n$ ${}= 8$

解説

位の重みで展開すると

\displaystyle 0.12_{(n)}

これが $\dfrac{5}{32}$ に等しいので

\displaystyle 32(n + 2)

$n$ は $3$ 以上の整数なので $n$ ${}= -\dfrac{8}{5}$ は適さず、 $\underline{n = 8}$ です。

（確かめ） $0.12_{(8)}$ ${}= \dfrac{1}{8}$ ${}+ \dfrac{2}{64}$ ${}= \dfrac{10}{64}$ ${}= \dfrac{5}{32}$

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問17　★★★

$1$ g， $3$ g， $9$ g， $27$ g のおもりが $1$ 個ずつある。天秤の左の皿に品物をのせ、おもりは左右どちらの皿にのせてもよいとする。(1) $1$ g から $40$ g までのすべての整数の重さが量れることを示しなさい。(2) $25$ g の品物を量るとき、左右の皿にのせるおもりをそれぞれ求めなさい。

つまずいたときは：

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答え

(1) $N$ ${}+ 40$ を $3$ 進法で表し、各位の数字から $1$ を引くと、 $N$ が $1,$ $\ 3,$ $\ 9,$ $\ 27$ に $-1,$ $\ 0,$ $\ 1$ を掛けた和で表せることを示す。(2) 左の皿に $3$ g、右の皿に $1$ g と $27$ g

解説

右の皿のおもりを $+1$ 、左の皿（品物と同じ側）のおもりを $-1$ 、使わないおもりを $0$ と数えると、つり合う条件は

\displaystyle N

（ $e_0$ ， $e_1$ ， $e_2$ ， $e_3$ はそれぞれ $-1$ ， $0$ ， $1$ のどれか）と書けることです。

(1) $1$ ${}\leqq N$ ${}\leqq 40$ とし、 $M$ ${}= N$ ${}+ 40$ とおきます。 $41$ ${}\leqq M$ ${}\leqq 80$ で、 $80$ ${}= 2222_{(3)}$ なので、 $M$ は $3$ 進法で $4$ けた以下です。

\displaystyle M

と表せます（ $4$ けたに満たない位は $0$ とします）。一方、 $40$ ${}= 1111_{(3)}$ ${}= 27$ ${}+ 9$ ${}+ 3$ ${}+ 1$ なので

\displaystyle N

$e_i$ ${}= d_i$ ${}- 1$ とおくと、 $e_i$ は $-1,$ $\ 0,$ $\ 1$ のどれかです。よって $1$ g から $40$ g までのすべての整数の重さが量れます。（証明終）

(2) $M$ ${}= 25$ ${}+ 40$ ${}= 65$ を $3$ 進法で表すと、 $65$ ${}= 3 \cdot 21$ ${}+ 2$ ， $21$ ${}= 3 \cdot 7$ ${}+ 0$ ， $7$ ${}= 3 \cdot 2$ ${}+ 1$ より $65$ ${}= 2102_{(3)}$ です。各位から $1$ を引くと

\displaystyle (e_3,\ e_2,\ e_1,\ e_0)

よって左の皿に $\underline{3\ \text{g}}$ 、右の皿に $\underline{1\ \text{g}}$ と $\underline{27\ \text{g}}$ をのせます。（確かめ）左は $25$ ${}+ 3$ ${}= 28$ g、右は $1$ ${}+ 27$ ${}= 28$ g でつり合います。

$-1,$ $\ 0,$ $\ 1$ を数字に使う $3$ 進法は「平衡三進法」と呼ばれ、 $1,$ $\ 3,$ $\ 9,$ $\ 27$ g で $1$ ${}+ 3$ ${}+ 9$ ${}+ 27$ ${}= 40$ g まで量れます。

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問18　★★★

(1) $3$ 以上のどの整数 $n$ についても、 $121_{(n)}$ は平方数であることを示しなさい。(2) $2$ 以上のどの整数 $n$ についても、 $111_{(n)}$ は平方数でないことを示しなさい。(3) $2$ ${}\leqq n$ ${}\leqq 10$ のとき、 $1111_{(n)}$ が平方数となる $n$ を求めなさい。

つまずいたときは：

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答え

(1) $121_{(n)}$ ${}= (n + 1)^2$ 　(2) $n^2$ ${}< 111_{(n)}$ ${}< (n + 1)^2$ から示す。(3) $n$ ${}= 7$ （ $1111_{(7)}$ ${}= 400$ ${}= 20^2$ ）

解説

(1) 数字 $2$ を使うので $n$ ${}\geqq 3$ です。

\displaystyle 121_{(n)}

$n$ ${}+ 1$ は整数なので、 $121_{(n)}$ は平方数です。（証明終）

(2) $111_{(n)}$ ${}= n^2$ ${}+ n$ ${}+ 1$ です。 $n$ ${}\geqq 2$ より

\displaystyle n^2

$111_{(n)}$ は連続する2つの平方数 $n^2$ と $(n + 1)^2$ の間にあるので、平方数ではありません。（証明終）

(3) 因数分解すると

\displaystyle 1111_{(n)}

$n$ ${}+ 1$ と $n^2$ ${}+ 1$ の公約数を $d$ とします。 $n^2$ ${}+ 1$ ${}= (n + 1)(n - 1)$ ${}+ 2$ なので、 $d$ は $2$ の約数です。

$n$ が偶数のとき　 $n$ ${}+ 1$ ， $n^2$ ${}+ 1$ はともに奇数なので、 $d$ ${}= 1$ で互いに素です。互いに素な2数の積が平方数なら、それぞれが平方数です（素因数分解で、各素因数はどちらか一方だけに含まれ、その指数が偶数になるから）。ところが $n^2$ ${}< n^2$ ${}+ 1$ ${}< (n + 1)^2$ なので $n^2$ ${}+ 1$ は平方数でなく、不適です。
$n$ が奇数のとき　 $n$ ${}= 3,$ $\ 5,$ $\ 7,$ $\ 9$ を調べます。

$n$	$(n + 1)(n^2 + 1)$
$3$	$4 \times 10 = 40$
$5$	$6 \times 26 = 156$
$7$	$8 \times 50 = 400$
$9$	$10 \times 82 = 820$

平方数になるのは $400$ ${}= 20^2$ だけです。よって $\underline{n = 7}$ です。

（参考） $n$ が奇数のときは $n$ ${}+ 1$ ${}= 2a^2$ ， $n^2$ ${}+ 1$ ${}= 2b^2$ の形が必要になり、 $n$ ${}= 7$ （ $8$ ${}= 2 \cdot 2^2$ ， $50$ ${}= 2 \cdot 5^2$ ）がこれに当たります。

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問19　★★★

$1$ から $255$ までの自然数をすべて $4$ 進法で表す。(1) 現れる数字 $3$ の個数の合計を求めなさい。(2) 現れるすべての数字の和を求めなさい。

つまずいたときは：

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答え

(1) $256$ 個　(2) $1536$

解説

$255$ ${}= 4^4$ ${}- 1$ ${}= 3333_{(4)}$ です。 $0$ から $255$ までの $256$ 個の整数を、先頭に $0$ を補って $0000_{(4)}$ 〜 $3333_{(4)}$ の $4$ けたで表します。補った $0$ や、 $0$ そのものは、数字 $3$ の個数にも数字の和にも影響しません。

$4$ けたの各位には $0,$ $\ 1,$ $\ 2,$ $\ 3$ のどれでも入り、並びは $4^4$ ${}= 256$ 通りですべて異なる整数に対応します。ある位を $1$ つの数字に固定すると、残り $3$ つの位の入れ方は $4^3$ ${}= 64$ 通りです。つまり、どの位にもどの数字も $64$ 回ずつ現れます。

(1) 数字 $3$ は各位に $64$ 回ずつ、 $4$ つの位で

\displaystyle 64 \times 4

(2) $1$ つの位に現れる数字の和は $64 \times (0 + 1 + 2 + 3)$ ${}= 384$ で、 $4$ つの位で

\displaystyle 384 \times 4

（確かめ） $1$ から $15$ まで（ $2$ けたまで）で同じように数えると、数字の和は $2 \times 4 \times 6$ ${}= 48$ です。実際 $1$ ${}+ 2$ ${}+ 3$ ${}+ (1 + 2 + 3) \times 4$ ${}+ (0 + 1 + 2 + 3) \times 3$ ${}= 6$ ${}+ 24$ ${}+ 18$ ${}= 48$ で一致します。

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問20　★★★

$2026$ を $n$ 進法で表すと $3$ けたになり、一の位の数字が $1$ になる。このような $2$ 以上の整数 $n$ をすべて求めなさい。

つまずいたときは：

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答え

$n$ ${}= 15,$ $\ 25,$ $\ 27,$ $\ 45$

解説

3けたになる条件　 $n^2$ ${}\leqq 2026$ ${}< n^3$ です。

$12^3$ ${}= 1728$ ${}< 2026$ ${}< 2197$ ${}= 13^3$ より、 $n^3$ ${}> 2026$ となるのは $n$ ${}\geqq 13$ です。
$45^2$ ${}= 2025$ ${}\leqq 2026$ ${}< 2116$ ${}= 46^2$ より、 $n^2$ ${}\leqq 2026$ となるのは $n$ ${}\leqq 45$ です。

よって $13$ ${}\leqq n$ ${}\leqq 45$ です。

一の位が 1 になる条件　 $n$ 進法の一の位の数字は、 $n$ で割った余りです。余りが $1$ なので $2026$ ${}= nq$ ${}+ 1$ 、つまり $n$ は $2025$ の約数です。

$2025$ ${}= 3^4 \cdot 5^2$ の正の約数は $1,$ $\ 3,$ $\ 5,$ $\ 9,$ $\ 15,$ $\ 25,$ $\ 27,$ $\ 45,$ $\ 75,$ $\ 81,$ $\ 135,$ $\ 225,$ $\ 405,$ $\ 675,$ $\ 2025$ で、このうち $13$ ${}\leqq n$ ${}\leqq 45$ を満たすのは

\displaystyle \underline{\rule[-0.1944em]{0em}{0.8389em}n = 15,}

（確かめ） $2026$ ${}= 9 \cdot 15^2$ ${}+ 0 \cdot 15$ ${}+ 1$ （ $901_{(15)}$ ）、 $2026$ ${}= 3 \cdot 25^2$ ${}+ 6 \cdot 25$ ${}+ 1$ （ $361_{(25)}$ ）、 $2026$ ${}= 2 \cdot 27^2$ ${}+ 21 \cdot 27$ ${}+ 1$ 、 $2026$ ${}= 1 \cdot 45^2$ ${}+ 0 \cdot 45$ ${}+ 1$ （ $101_{(45)}$ ）です。

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第8章 準2級 n進法

出題のポイント

類題（全20問）

第8章　準2級 n進法