第5章　一般角と弧度法

なぜ今、角の測り方を変えるのか

第1章から第4章まで、角はずっと「度」で書いてきました。三角形の角は $0^\circ$ より大きく $180^\circ$ より小さいので、分度器で測れる範囲に収まっていたからです。測量や面積の計算では、それで何も困りません。

ところが、この先で扱う $\sin$・$\cos$ は「三角形の角」から離れて、回転を表す道具になります。観覧車は 1 周して止まらずに回り続けますし、逆回しもできます。そこで 2 つのことを新しくします。

1. 角を「どれだけ回ったか」で測り、$360^\circ$ を超える角や負の角も認める（一般角）。
2. 角の単位を、円の半径と弧の長さから決まるラジアンに切り替える（弧度法）。

2 のほうは「単位の乗り換え」にすぎませんが、乗り換えると扇形の弧の長さが $r\theta$、面積が $\dfrac{1}{2}r^2\theta$ という短い式になり、さらに先の微分で $\sin$ の計算が驚くほど簡単になります。度が「人間の都合で 1 周を 360 等分した単位」なのに対し、ラジアンは「円そのものから出てくる単位」だからです。

一般角——角を「回転の量」として見る

平面上に点 $\mathrm{O}$ をとり、$\mathrm{O}$ から右向きに伸びる半直線 $\mathrm{OA}$ を始線とします。始線を $\mathrm{O}$ のまわりに回して半直線 $\mathrm{OP}$ に重ねたとき、$\mathrm{OP}$ を動径といい、回した量を「動径 $\mathrm{OP}$ の表す角」と呼びます。反時計回りを正、時計回りを負と約束します。

図の動径 $\mathrm{OP}$ は、$60^\circ$ 回しても、$60^\circ + 360^\circ$${}= 420^\circ$ 回しても、逆向きに $300^\circ$ 回しても（$-300^\circ$）同じ位置に来ます。動径の位置は同じでも「回した量」は違う——その回した量をすべて区別して 1 つの角と考えるのが一般角です。

公式1：一般角

動径 $\mathrm{OP}$ の表す角の 1 つを $\alpha$ とすると、動径 $\mathrm{OP}$ の表す角の全体は

$\displaystyle \alpha$$\displaystyle {}+ 360^\circ \times n$$\displaystyle (n \text{ は整数})$

• $n$${}= 0,$$\ 1,$$\ 2,$$\ \ldots$ は反時計回りに何周か余分に回った角、$n$${}= -1,$${}\ -2,$$\ \ldots$ は時計回りに回った角です。
• 動径が $x$ 軸・$y$ 軸で分けられる 4 つの領域のどこにあるかで、角を第1象限の角〜第4象限の角と呼びます（右上が第1象限で、反時計回りに第2・第3・第4）。

ダイヤル式の金庫を思い浮かべてください。つまみが「3」を指していても、右に 1 周してから 3 に合わせたのか、左に回して 3 に合わせたのかで、錠の中身は違う動きをしています。つまみの見た目（動径の位置）と回した量（一般角）は別のもの——それが公式1の $360^\circ \times n$ です。第2章の観覧車は「$0^\circ$ から $180^\circ$ まで」で止めていましたが、ここからは何周でも、逆回しでも構いません。

一般角とは「動径をどれだけ回したか」で角を測る考え方で、同じ動径を表す角は $360^\circ$ ずつ違う無限個があるということです。

例題1：一般角の表し方と象限

次の角の動径を図示するとき、その動径が第何象限にあるか答えなさい。また、その動径の表す角を $\alpha$${}+ 360^\circ \times n$（$0^\circ$${}\leqq \alpha$${}< 360^\circ$，$n$ は整数）の形で表しなさい。

$\displaystyle \text{(1)}\ 400^\circ$$\displaystyle \text{(2)}$$\displaystyle {}\ -120^\circ$$\displaystyle \text{(3)}\ 1000^\circ$

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【解答】

(1) $400^\circ$${}= 40^\circ + 360^\circ$ なので、動径は $40^\circ$ と同じ位置にあり、第1象限です。

$$\underline{40^\circ + 360^\circ \times n}$$

(2) $-120^\circ$${}= 240^\circ - 360^\circ$ なので、動径は $240^\circ$ と同じ位置にあり、第3象限です。

$$\underline{240^\circ + 360^\circ \times n}$$

(3) $1000^\circ$${}= 280^\circ + 360^\circ \times 2$ なので、動径は $280^\circ$ と同じ位置にあり、第4象限です。

$$\underline{280^\circ + 360^\circ \times n}$$

$360^\circ$ を足したり引いたりして $0^\circ$ 以上 $360^\circ$ 未満に入れる。それが「動径の位置」を読む手順です。負の角は $360^\circ$ を足して正にします。

弧度法——半径を「ものさし」にして角を測る

度は「1 周を 360 等分したものが $1^\circ$」という約束でした。360 という数は円のどこにも書いてありません。円が自分で持っている長さは半径と弧だけです。そこで、半径と同じ長さの弧を切り取る中心角を新しい単位にします。

公式2：弧度法（ラジアン）の定義

半径 $r$ の円で、長さ $l$ の弧に対する中心角の大きさを

$\displaystyle \theta$$\displaystyle {}= \frac{l}{r}\ \text{ラジアン}$

と定める。この測り方を弧度法という。

• 半径と同じ長さの弧に対する中心角が $1$ ラジアンで、$1$ ラジアン $\approx 57.3^\circ$ です。
• 中心角が同じ扇形は相似なので、$l$ と $r$ は同じ割合で変わり、$\dfrac{l}{r}$ は半径によりません（だから角の単位として使えます。厳密定義ページ）。
• ラジアンは「長さ ÷ 長さ」なので単位のない数です。ふつう「ラジアン」を書かずに $\theta$${}= 2$ のように書きます。

ロープを 1 本用意して、その長さを半径にした円を地面に描いてみてください。そのロープを円周に沿って 1 本分だけ巻いたとき、円の中心から見た「開き具合」が 1 ラジアンです。半径 $1$ m の円でも $100$ m の円でも、ロープを半径に合わせて用意すれば開き具合は同じ——半径が単位を決めるので、円の大きさに関係なく角が測れます。

弧度法は「弧の長さ ÷ 半径」で角を測る方法で、半径と同じ長さの弧が $1$ ラジアン、円の大きさによらない単位だということです。

例題2：定義から角を求める

次の中心角の大きさをラジアンで求めなさい。

(1) 半径 $4$ の円で、長さ $6$ の弧に対する中心角

(2) 半径 $r$ の円で、円周全体（1 周）に対する中心角

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【解答】

(1) 公式2より

$\displaystyle \theta$$\displaystyle {}= \frac{l}{r}$$\displaystyle {}= \frac{6}{4}$$\displaystyle {}= \underline{\frac{3}{2}}$

(2) 円周の長さは $2\pi r$ なので

$\displaystyle \theta$$\displaystyle {}= \frac{2\pi r}{r}$$\displaystyle {}= \underline{2\pi}$

1 周が $2\pi$ ラジアン、つまり $360^\circ$${}= 2\pi$ です。半径 $r$ が消えるところを見てください——どんな円でも 1 周は $2\pi$ です。

度とラジアンの換算——π が 180° の目印

例題2の (2) から、$360^\circ$${}= 2\pi$ ラジアン、すなわち $180^\circ$${}= \pi$ ラジアンです。この 1 本の関係で、度とラジアンは自由に行き来できます。

公式3：度とラジアンの換算

$\displaystyle 180^\circ$$\displaystyle {}= \pi$$\displaystyle {}\Longleftrightarrow\qquad 1^\circ$$\displaystyle {}= \frac{\pi}{180},$$\displaystyle 1\ \text{ラジアン}$$\displaystyle {}= \frac{180^\circ}{\pi}$$\displaystyle {}\approx 57.3^\circ$

よく使う角の対応表（$90^\circ$ までと、それより大きい角の 2 つに分けています）：

度	$0^\circ$	$30^\circ$	$45^\circ$	$60^\circ$	$90^\circ$
ラジアン	$0$	$\dfrac{\pi}{6}$	$\dfrac{\pi}{4}$	$\dfrac{\pi}{3}$	$\dfrac{\pi}{2}$

度	$120^\circ$	$135^\circ$	$150^\circ$	$180^\circ$	$270^\circ$	$360^\circ$
ラジアン	$\dfrac{2}{3}\pi$	$\dfrac{3}{4}\pi$	$\dfrac{5}{6}\pi$	$\pi$	$\dfrac{3}{2}\pi$	$2\pi$

• 度 → ラジアンは $\dfrac{\pi}{180}$ を掛ける。ラジアン → 度は $\dfrac{180^\circ}{\pi}$ を掛ける（$\pi$ を $180^\circ$ に置き換える、と覚えても同じ）。

km とマイルのような「単位の換算」と同じことですが、換算率が $\pi$ という無理数なのが違いです。とはいえ、$\pi$ を「半周」と読み替えると計算より速く分かります。$\dfrac{\pi}{3}$ は「半周の 3 分の 1」で $60^\circ$、$\dfrac{5}{6}\pi$ は「半周の 6 分の 5」で $150^\circ$。三角定規の角は表の $\dfrac{\pi}{6}$，$\dfrac{\pi}{4}$，$\dfrac{\pi}{3}$ に対応するので、まずこの 3 つを覚えてください。

$\pi$${}= 180^\circ$ の 1 本を覚えておけば、度とラジアンは掛け算 1 回で換算できるということです。

例題3：度とラジアンを換算する

(1) $75^\circ$，$225^\circ$，$-30^\circ$ をラジアンで表しなさい。

(2) $\dfrac{5}{4}\pi$，$\dfrac{7}{6}\pi$，$-\dfrac{\pi}{2}$ を度で表しなさい。

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【解答】

(1) $\dfrac{\pi}{180}$ を掛けます。

$\displaystyle 75^\circ$$\displaystyle {}= 75 \cdot \frac{\pi}{180}$$\displaystyle {}= \underline{\frac{5}{12}\pi},$$\displaystyle 225^\circ$$\displaystyle {}= 225 \cdot \frac{\pi}{180}$$\displaystyle {}= \underline{\frac{5}{4}\pi},$$\displaystyle {}\qquad -30^\circ$$\displaystyle {}= -30 \cdot \frac{\pi}{180}$$\displaystyle {}= \underline{-\frac{\pi}{6}}$

(2) $\pi$ を $180^\circ$ に置き換えます。

$\displaystyle \frac{5}{4}\pi$$\displaystyle {}= \frac{5}{4} \cdot 180^\circ$$\displaystyle {}= \underline{225^\circ},$$\displaystyle \frac{7}{6}\pi$$\displaystyle {}= \frac{7}{6} \cdot 180^\circ$$\displaystyle {}= \underline{210^\circ},$$\displaystyle {}\qquad -\frac{\pi}{2}$$\displaystyle {}= -\frac{1}{2} \cdot 180^\circ$$\displaystyle {}= \underline{-90^\circ}$

負の角も同じ換算率です。ラジアンの分数は約分した形（$\frac{5}{12}\pi$ を $\frac{75}{180}\pi$ のままにしない）で答えます。

一般角をラジアンで書く——θ + 2nπ

$360^\circ$${}= 2\pi$ なので、公式1の「$360^\circ \times n$」はラジアンでは「$2n\pi$」になります。これ以降、一般角はこの形で書きます。

公式4：一般角のラジアン表記

動径 $\mathrm{OP}$ の表す角の 1 つを $\alpha$ とすると、動径 $\mathrm{OP}$ の表す角の全体は

$\displaystyle \alpha$$\displaystyle {}+ 2n\pi$$\displaystyle (n \text{ は整数})$

• 与えられた角の動径の位置を知るには、$2\pi$ を足し引きして $0$${}\leqq \alpha$${}< 2\pi$ の範囲に入れます。
• 2 つの角 $\alpha$，$\beta$ の動径が一致する条件は「$\alpha$${}- \beta$ が $2\pi$ の整数倍」です。

時計の針は 12 時間で 1 周しますが、「今 3 時を指している」と言うとき、何周してきたかは気にしません。$\alpha$${}+ 2n\pi$ の $2n\pi$ は「何周してきたか」、$\alpha$ は「今どこを指しているか」です。第2章の時計盤（3 時の位置が始線、反時計回り）を、そのまま何周でも回せるようにしたものと思ってください。

ラジアンでは $2\pi$ が 1 周なので、一般角は $\alpha$${}+ 2n\pi$ と書き、動径の位置は $\alpha$ を $0$${}\leqq \alpha$${}< 2\pi$ に入れて読むということです。

例題4：ラジアンで書かれた角の動径

次の角の動径が第何象限にあるか答えなさい。また、その動径の表す角を $\alpha$${}+ 2n\pi$（$0$${}\leqq \alpha$${}< 2\pi$，$n$ は整数）の形で表しなさい。

$\displaystyle \text{(1)}\ \frac{13}{6}\pi$$\displaystyle \text{(2)}$$\displaystyle {}\ -\frac{\pi}{3}$$\displaystyle \text{(3)}$$\displaystyle {}\ -\frac{11}{4}\pi$

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【解答】

(1) $\dfrac{13}{6}\pi$${}= \dfrac{\pi}{6}$${}+ 2\pi$ なので、動径は $\dfrac{\pi}{6}$（$30^\circ$）と同じ位置で、第1象限です。

$\displaystyle \underline{\rule[-0.686em]{0em}{1.7936em}\frac{\pi}{6}}$$\displaystyle \underline{\rule[-0.686em]{0em}{1.7936em}{}+ 2n\pi}$

(2) $-\dfrac{\pi}{3}$${}= \dfrac{5}{3}\pi$${}- 2\pi$ なので、動径は $\dfrac{5}{3}\pi$（$300^\circ$）と同じ位置で、第4象限です。

$\displaystyle \underline{\rule[-0.686em]{0em}{2.0074em}\frac{5}{3}\pi}$$\displaystyle \underline{\rule[-0.686em]{0em}{2.0074em}{}+ 2n\pi}$

(3) $-\dfrac{11}{4}\pi$${}= -\dfrac{11}{4}\pi$${}+ 4\pi$${}= \dfrac{5}{4}\pi$、つまり $-\dfrac{11}{4}\pi$${}= \dfrac{5}{4}\pi$${}- 2\pi \times 2$ なので、動径は $\dfrac{5}{4}\pi$（$225^\circ$）と同じ位置で、第3象限です。

$\displaystyle \underline{\rule[-0.686em]{0em}{2.0074em}\frac{5}{4}\pi}$$\displaystyle \underline{\rule[-0.686em]{0em}{2.0074em}{}+ 2n\pi}$

$\pi$ の係数だけを見て「$2$ を足し引きして $0$ 以上 $2$ 未満にする」と考えると速いです。(3) なら $-\dfrac{11}{4}$ に $2$ を 2 回足して $\dfrac{5}{4}$ です。

扇形の弧の長さと面積——ラジアンで式が短くなる

弧度法の定義 $\theta$${}= \dfrac{l}{r}$ を $l$ について解くと、弧の長さの公式になります。面積は「扇形は円全体の $\dfrac{\theta}{2\pi}$」と考えれば出ます。

公式5：扇形の弧の長さと面積

半径 $r$、中心角 $\theta$（ラジアン）の扇形の弧の長さを $l$、面積を $S$ とすると

$\displaystyle l$$\displaystyle {}= r\theta,$$\displaystyle S$$\displaystyle {}= \frac{1}{2}r^2\theta$$\displaystyle {}= \frac{1}{2}rl$

• 度のままなら $l$${}= 2\pi r \times \dfrac{\theta}{360}$、$S$${}= \pi r^2 \times \dfrac{\theta}{360}$ です。ラジアンなら $\dfrac{\theta}{360}$ の分数が消えて、掛け算だけになります。
• $S$${}= \dfrac{1}{2}rl$ は「底辺 $l$、高さ $r$ の三角形」と同じ形です。

第4章の三角形の面積 $S$${}= \dfrac{1}{2}bc\sin A$ と並べてみてください。扇形の面積 $\dfrac{1}{2}r^2\theta$ は、2 辺がどちらも $r$ で、はさむ角の $\sin$ の代わりに角 $\theta$ そのものが入った形です。角が小さいときは $\sin\theta$ と $\theta$ がほとんど同じ値になる（厳密定義ページ）ので、細い扇形はほぼ三角形——2 つの公式が近い形をしているのは偶然ではありません。ピザを 1 切れ取るとき、縁の長さも面積も「切れの角」に比例します。第4章では中心から 3 切れに分けましたが、今回は 1 切れの大きさを角で測ります。

ラジアンで測ると、扇形の弧の長さは「半径 × 角」、面積は「半径の 2 乗 × 角 ÷ 2」という掛け算だけの式になるということです。

例題5：扇形の弧の長さと面積

(1) 半径 $6$、中心角 $\dfrac{\pi}{3}$ の扇形の弧の長さ $l$ と面積 $S$ を求めなさい。

(2) 半径 $4$、弧の長さ $10$ の扇形の中心角 $\theta$ と面積 $S$ を求めなさい。

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【解答】

(1) 公式5より

$\displaystyle l$$\displaystyle {}= 6 \cdot \frac{\pi}{3}$$\displaystyle {}= \underline{2\pi},$$\displaystyle S$$\displaystyle {}= \frac{1}{2} \cdot 6^2 \cdot \frac{\pi}{3}$$\displaystyle {}= \underline{6\pi}$

(2) $l$${}= r\theta$ より

$\displaystyle \theta$$\displaystyle {}= \frac{l}{r}$$\displaystyle {}= \frac{10}{4}$$\displaystyle {}= \underline{\frac{5}{2}}$

面積は $S$${}= \dfrac{1}{2}rl$ が速く

$\displaystyle S$$\displaystyle {}= \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 10$$\displaystyle {}= \underline{20}$

(2) の中心角 $\dfrac{5}{2}$ は $\pi$ を含まない「ただの数」です。ラジアンは $\pi$ の何倍かで書くことが多いですが、$\pi$ が付かない値も立派な角です（$\dfrac{5}{2}$ ラジアン $\approx 143^\circ$）。

第6章へ——単位円の点を「角の関数」として見直す

第2章では、単位円上で $\mathrm{A}(1,\ 0)$ から角 $\theta$ だけ進んだ点 $\mathrm{P}(x,\ y)$ の座標を $\cos\theta$，$\sin\theta$ と定めました。角は $0^\circ$ から $180^\circ$ までに限っていました。

この章の言葉で言い直すと、$\mathrm{P}$ は「始線 $\mathrm{OA}$ を $\theta$ だけ回した動径と単位円の交点」です。一般角なら $\theta$ は $2\pi$ を超えても負でも構いませんし、動径は必ず単位円と 1 点で交わります。つまり、どんな実数 $\theta$ に対しても点 $\mathrm{P}$ が 1 つ決まる——その $x$ 座標・$y$ 座標を $\cos\theta$・$\sin\theta$ と呼び直せば、$\sin$ と $\cos$ は「すべての実数で定義された関数」になります。これが第6章の三角関数です。第2章で使った「定義の拡張（もとの範囲では前の定義と一致することを確かめる）」の考え方を、もう一度使うことになります。