三角形 $ABC$ で $a$ ${}= 4$ ， $b$ ${}= 5$ ， $c$ ${}= 6$ のとき、面積 $S$ を求めなさい。

1c:Td0a,

$S$ ${}= \dfrac{15\sqrt{7}}{4}$

1d:Taf16,

余弦定理で角を 1 つ出します。

\displaystyle \cos C

$\sin C$ ${}> 0$ なので

\displaystyle \sin C

\displaystyle S

ヘロンの公式でも $s$ ${}= \dfrac{15}{2}$ から $S$ ${}= \sqrt{\dfrac{15}{2} \cdot \dfrac{7}{2} \cdot \dfrac{5}{2} \cdot \dfrac{3}{2}}$ ${}= \dfrac{\sqrt{1575}}{4}$ ${}= \dfrac{15\sqrt{7}}{4}$ と同じ値になります。

1e:T1694,

三角形 $ABC$ で $b$ ${}= 4$ ， $c$ ${}= 3$ 、面積が $S$ ${}= 3\sqrt{3}$ のとき、 $A$ を求めなさい。

1f:T9bb,

$A$ ${}= 60^\circ,$ $\ 120^\circ$

20:T459d,

公式1 $S$ ${}= \dfrac{1}{2}bc\sin A$ に代入すると

\displaystyle 3\sqrt{3}

$0^\circ$ ${}< A$ ${}< 180^\circ$ でこれを満たす角は 2 つあります。

\displaystyle \underline{\rule[-0.1944em]{0em}{0.9186em}A = 60^\circ,}

面積から角を求めると、 $\sin$ を経由するので鋭角と鈍角の 2 つが出ます。どちらも同じ面積の三角形なので、どちらかを捨てる理由はありません。

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