第3章　実数と平方根

有理数と無理数

中学校では、$\sqrt{2}$ や円周率 $\pi$ のように、分数では書けない数に出会いました。この章では、そうした数も含めた実数の全体を整理し、$\sqrt{\ }$ を含む式を自在に計算できるようにします。

公式1：有理数と無理数

• 整数 $m$ と $0$ でない整数 $n$ を用いて $\dfrac{m}{n}$ と表せる数を有理数という。整数も $\dfrac{3}{1}$ のように書けるので有理数である。
• 有理数でない実数を無理数という。例：$\sqrt{2}$，$\sqrt{3}$，$\pi$
• 有理数を小数で表すと、有限小数（$0.25$ など）か循環小数（同じ並びがくり返す無限小数）になる。無理数は、循環しない無限小数になる。
• 循環小数は、くり返す部分の最初と最後の数字の上に点をつけて表す。 $\displaystyle 0.333\cdots$$\displaystyle {}= 0.\dot{3},$$\displaystyle 0.121212\cdots$$\displaystyle {}= 0.\dot{1}\dot{2},$$\displaystyle 0.1363636\cdots$$\displaystyle {}= 0.1\dot{3}\dot{6}$

たとえば $\dfrac{1}{4}$${}= 0.25$ は割り切れて終わり、$\dfrac{4}{33}$${}= 0.121212\cdots$ は $12$ が永遠にくり返します。一方 $\sqrt{2}$${}= 1.41421356\cdots$ は、どこまで計算しても決まったくり返しが現れません。

循環小数は、音楽プレーヤーの1曲リピートに似ています。同じフレーズが終わりなく流れ続けますが、どのフレーズがくり返されるかさえ分かれば、曲全体を知っていることになります。だから循環小数は、分数という「短い楽譜」に書き直せるのです。書き直しの手順は、くり返しの長さだけ $10$ 倍・$100$ 倍して引き算し、終わりのない尻尾を消してしまうことです。

実数は「分数で書ける有理数（有限小数か循環小数）」と「分数で書けない無理数（循環しない無限小数）」に分かれ、循環小数は引き算でくり返しを消せば分数に直せるということです。

例題1：循環小数と無理数

(1) $0.\dot{4}\dot{5}$ を分数で表した数を求めなさい。

(2) $1.2\dot{3}$ を分数で表した数を求めなさい。

(3) 次の数のうち、無理数であるものをすべて求めなさい。

$\displaystyle -\frac{2}{3},$$\displaystyle \sqrt{9},$$\displaystyle \pi,$$\displaystyle 0.\dot{1},$$\displaystyle \sqrt{5}$

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【解答】

(1) $x$${}= 0.4545\cdots$ とおきます。くり返しは2けたなので $100$ 倍します。

$\displaystyle 100x$$\displaystyle {}= 45.4545\cdots$$\displaystyle x$$\displaystyle {}= \phantom{0}0.4545\cdots$

辺々引くと $99x$${}= 45$ となり、$x$${}= \dfrac{45}{99}$${}= \underline{\dfrac{5}{11}}$ です。

(2) $x$${}= 1.2333\cdots$ とおきます。くり返しが始まる位置をそろえるため、$10x$ と $100x$ を比べます。

$\displaystyle 100x$$\displaystyle {}- 10x$$\displaystyle {}= 123.333\cdots$$\displaystyle {}- 12.333\cdots$$\displaystyle {}= 111$

$90x$${}= 111$ より $x$${}= \dfrac{111}{90}$${}= \underline{\dfrac{37}{30}}$ です。

(3) $\sqrt{9}$${}= 3$ は整数、$0.\dot{1}$${}= \dfrac{1}{9}$ は循環小数なので、どちらも有理数です。無理数は $\underline{\rule[-0.1944em]{0em}{1.1017em}\pi,}$$\underline{\rule[-0.1944em]{0em}{1.1017em}\ \sqrt{5}}$ です。

数直線と絶対値

実数は、数直線上の点と1つずつ対応しています。数直線の上で「$0$ からどれだけ離れているか」を表すのが絶対値です。

公式2：絶対値

数直線上で、実数 $a$ を表す点と原点との距離を $a$ の絶対値といい、$|a|$ で表す。

$\displaystyle |a|$$\displaystyle {}= \begin{cases} a & (a \geqq 0 \text{ のとき}) \\ -a & (a < 0 \text{ のとき}) \end{cases}$

• $|a|$${}\geqq 0$ であり、$|-a|$${}= |a|$ が成り立つ。
• 数直線上の2点 $\mathrm{A}(a)$，$\mathrm{B}(b)$ の距離は $|b - a|$ である。

「$a$${}< 0$ のとき $-a$」という書き方に戸惑う人は多いのですが、$a$${}= -3$ なら $-a$${}= -(-3)$${}= 3$ です。負の数にマイナスをつけて正にする、と読めば納得できます。

絶対値は、駅からの距離のようなものです。駅から東へ $3$ km の家も、西へ $3$ km の家も、「駅から $3$ km」であることに変わりはありません。向き（符号）は忘れて、離れ具合だけを見る。それが絶対値です。

絶対値の記号をはずすときは、中身の符号を先に調べます。中身が $0$ 以上ならそのまま、負ならマイナスをつけてはずします。

絶対値は原点からの距離で、記号をはずすときは中身の符号を調べ、負ならマイナスをつけるということです。

例題2：絶対値の記号をはずす

(1) $|-5|$${}+ |3 - 7|$ の値を求めなさい。

(2) $|3 - \pi|$ を、絶対値記号を使わずに表した式を求めなさい。

(3) $x$${}< 1$ のとき、$|x - 1|$ を絶対値記号を使わずに表した式を求めなさい。

(4) 数直線上の2点 $\mathrm{A}(-2)$，$\mathrm{B}(5)$ の距離を求めなさい。

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【解答】

(1) $|-5|$${}= 5$，$|3 - 7|$${}= |-4|$${}= 4$ なので、$5$${}+ 4$${}= \underline{9}$ です。

(2) $\pi$${}= 3.14\cdots$ なので $3$${}- \pi$${}< 0$ です。マイナスをつけてはずします。

$\displaystyle |3 - \pi|$$\displaystyle {}= -(3 - \pi)$$\displaystyle {}= \underline{\rule[-0.0833em]{0em}{0.7277em}\pi}$$\displaystyle \underline{\rule[-0.0833em]{0em}{0.7277em}{}- 3}$

(3) $x$${}< 1$ なので $x$${}- 1$${}< 0$ です。$|x - 1|$${}= -(x - 1)$${}= \underline{\rule[-0.0833em]{0em}{0.7278em}1}$$\underline{\rule[-0.0833em]{0em}{0.7278em}{}- x}$

(4) $|5 - (-2)|$${}= |7|$${}= \underline{7}$ です。

平方根の性質

公式3：平方根

$a$${}\geqq 0$ とする。2乗すると $a$ になる数を $a$ の平方根という。$a$${}> 0$ のとき平方根は正と負の2つあり、正のほうを $\sqrt{a}$、負のほうを $-\sqrt{a}$ で表す。$\sqrt{0}$${}= 0$ である。

$a$${}> 0$，$b$${}> 0$，$k$${}> 0$ のとき

$\displaystyle \text{(1)}\ (\sqrt{a})^2$$\displaystyle {}= a$$\displaystyle \text{(2)}\ \sqrt{a}\sqrt{b}$$\displaystyle {}= \sqrt{ab},$$\displaystyle \qquad \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$$\displaystyle {}= \sqrt{\frac{a}{b}}$$\displaystyle \text{(3)}\ \sqrt{k^2 a}$$\displaystyle {}= k\sqrt{a}$

また、どんな実数 $a$ に対しても $\sqrt{a^2}$${}= |a|$ が成り立つ。

最後の $\sqrt{a^2}$${}= |a|$ は、見落としやすい大事な性質です。$\sqrt{\ }$ は「正のほう」の平方根を表す記号なので、$\sqrt{(-3)^2}$${}= \sqrt{9}$${}= 3$ であって $-3$ ではありません。$a$ の符号が分からないときに $\sqrt{a^2}$${}= a$ としてしまうと、答えが負になってしまうことがあります。

(3) を使って $\sqrt{\ }$ の中をできるだけ小さくするには、中身を素因数分解して、2つそろった因数を探します。遊園地の2人乗りの乗り物を想像してください。$\sqrt{\ }$ という乗り場から外に出られるのは、ペアを組んだ因数だけで、ペアは1人ぶんとして外に出ます。$\sqrt{12}$${}= \sqrt{2^2 \times 3}$ なら、ペアになった $2$ が外に出て $2\sqrt{3}$。相手のいない $3$ は乗り場に残ります。

$\sqrt{2}$ と $\sqrt{3}$ のように $\sqrt{\ }$ の中身が違うものは、同類項ではないので、足し算でまとめられません。$\sqrt{2}$${}+ \sqrt{3}$${}\neq \sqrt{5}$ です。

$\sqrt{\ }$ どうしはかけたり割ったりでき、中身の中の「2つそろった因数」は外に出せるが、$\sqrt{a^2}$ は $a$ ではなく $|a|$ になるということです。

例題3：平方根の計算

次の式を計算した結果を求めなさい。

$\displaystyle \text{(1)}\ \sqrt{18}$$\displaystyle {}+ \sqrt{50}$$\displaystyle {}- \sqrt{8}$$\displaystyle \text{(2)}\ (2\sqrt{3} - \sqrt{2})^2$$\displaystyle \text{(3)}\ \sqrt{(-3)^2}$

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【解答】

(1) それぞれの中身から $2$ つそろった因数を外に出すと、$\sqrt{2}$ の同類項になります。

$\displaystyle 3\sqrt{2}$$\displaystyle {}+ 5\sqrt{2}$$\displaystyle {}- 2\sqrt{2}$$\displaystyle {}= \underline{6\sqrt{2}}$

(2) 第1章の乗法公式 $(a - b)^2$${}= a^2$${}- 2ab$${}+ b^2$ を使います。

$\displaystyle (2\sqrt{3})^2$$\displaystyle {}- 2 \cdot 2\sqrt{3} \cdot \sqrt{2}$$\displaystyle {}+ (\sqrt{2})^2$$\displaystyle {}= 12$$\displaystyle {}- 4\sqrt{6}$$\displaystyle {}+ 2$$\displaystyle {}= \underline{\rule[-0.0839em]{0em}{1.0400em}14}$$\displaystyle \underline{\rule[-0.0839em]{0em}{1.0400em}{}- 4\sqrt{6}}$

(3) $\sqrt{(-3)^2}$${}= |-3|$${}= \underline{3}$ です。

分母の有理化

$\dfrac{1}{\sqrt{2}}$ のように分母に $\sqrt{\ }$ がある式は、分母・分子に同じ数をかけて、分母を有理数にするのがふつうです。これを分母の有理化といいます。

公式4：分母の有理化

$a$${}> 0$，$b$${}> 0$，$a$${}\neq b$ のとき

$\displaystyle \frac{1}{\sqrt{a}}$$\displaystyle {}= \frac{\sqrt{a}}{a},$$\displaystyle \frac{1}{\sqrt{a} + \sqrt{b}}$$\displaystyle {}= \frac{\sqrt{a} - \sqrt{b}}{a - b},$$\displaystyle \frac{1}{\sqrt{a} - \sqrt{b}}$$\displaystyle {}= \frac{\sqrt{a} + \sqrt{b}}{a - b}$

分母が2項のときは、$(\sqrt{a} + \sqrt{b})(\sqrt{a} - \sqrt{b})$${}= a$${}- b$ を利用して、符号を入れかえた式を分母・分子にかける。

なぜわざわざ形を変えるのでしょう。$\dfrac{1}{\sqrt{2}}$ の値を手で求めると、$1 \div 1.41421356\cdots$ という面倒な割り算になります。有理化した $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ なら $1.41421356\cdots \div 2$${}= 0.707\cdots$ で済みます。

割り勘を思い浮かべてください。「$1.414\cdots$ 人で割る」と言われても困りますが、「$2$ 人で割る」なら暗算でもできますね。有理化は、割る側の人数をきりのよい数にそろえる作業です。分母・分子に同じものをかけているので、値そのものは変わりません。

分母の $\sqrt{\ }$ は、1項ならその $\sqrt{\ }$ を、2項なら符号を入れかえた式を分母・分子にかけて消すということです。

例題4：分母を有理化する

次の式の分母を有理化した式を求めなさい。

$\displaystyle \text{(1)}\ \frac{6}{\sqrt{3}}$$\displaystyle \text{(2)}\ \frac{1}{\sqrt{5} - \sqrt{2}}$$\displaystyle \text{(3)}\ \frac{\sqrt{3} + 1}{\sqrt{3} - 1}$

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【解答】

(1) $\dfrac{6}{\sqrt{3}}$${}= \dfrac{6\sqrt{3}}{3}$${}= \underline{2\sqrt{3}}$

(2) 分母・分子に $\sqrt{5}$${}+ \sqrt{2}$ をかけます。

$\displaystyle \frac{\sqrt{5} + \sqrt{2}}{(\sqrt{5} - \sqrt{2})(\sqrt{5} + \sqrt{2})}$$\displaystyle {}= \underline{\frac{\sqrt{5} + \sqrt{2}}{3}}$

(3) 分母・分子に $\sqrt{3}$${}+ 1$ をかけます。分子は $(\sqrt{3} + 1)^2$${}= 4$${}+ 2\sqrt{3}$、分母は $3$${}- 1$${}= 2$ です。

$\displaystyle \frac{4 + 2\sqrt{3}}{2}$$\displaystyle {}= \underline{\rule[-0.0839em]{0em}{1.0400em}2}$$\displaystyle \underline{\rule[-0.0839em]{0em}{1.0400em}{}+ \sqrt{3}}$

二重根号

$\sqrt{\ }$ の中にさらに $\sqrt{\ }$ がある式を二重根号といいます。いつもはずせるわけではありませんが、中身が特別な形なら、1重の $\sqrt{\ }$ に直せます。

公式5：二重根号のはずし方

$a$${}> 0$，$b$${}> 0$ のとき

$\displaystyle \sqrt{(a + b) + 2\sqrt{ab}}$$\displaystyle {}= \sqrt{a}$$\displaystyle {}+ \sqrt{b}$

$a$${}> b$${}> 0$ のとき

$\displaystyle \sqrt{(a + b) - 2\sqrt{ab}}$$\displaystyle {}= \sqrt{a}$$\displaystyle {}- \sqrt{b}$

「足して $a$${}+ b$、かけて $ab$」になる2数 $a$，$b$ を探す。内側の $\sqrt{\ }$ の前が $2$ でないときは、$2$ が現れるように変形する。

左辺の中身は $(\sqrt{a} \pm \sqrt{b})^2$${}= a$${}+ b$${}\pm 2\sqrt{ab}$ です。つまり、平方の形を見抜いて $\sqrt{\ }$ を1枚はがしているのです。引き算の形では、$\sqrt{a}$${}- \sqrt{b}$ が正になるよう、大きいほうを前に書きます（$\sqrt{\ }$ の値は負にならないからです）。

二重根号は、ロシアの人形マトリョーシカに似ています。大きな人形の中に小さな人形が入っていて、外側を開けると中身が出てきます。「足して・かけて」の2数が見つかることが、外側の人形の留め金を外す合図です。第2章の「かけて定数項、足して $x$ の係数」とそっくりの探し方なのも、覚えやすい点です。

二重根号は、内側の $\sqrt{\ }$ の前を $2$ にそろえ、「足して外の数、かけて中の数」になる2数を見つければ、1重にはずせるということです。

例題5：二重根号をはずす

次の式の二重根号をはずした式を求めなさい。

$\displaystyle \text{(1)}\ \sqrt{5 + 2\sqrt{6}}$$\displaystyle \text{(2)}\ \sqrt{7 - 4\sqrt{3}}$$\displaystyle \text{(3)}\ \sqrt{4 - \sqrt{15}}$

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【解答】

(1) 足して $5$、かけて $6$ の2数は $3$ と $2$ です。$\sqrt{5 + 2\sqrt{6}}$${}= \underline{\rule[-0.1328em]{0em}{1.0400em}\sqrt{3}}$$\underline{\rule[-0.1328em]{0em}{1.0400em}{}+ \sqrt{2}}$

(2) $4\sqrt{3}$${}= 2\sqrt{12}$ と直します。足して $7$、かけて $12$ の2数は $4$ と $3$ です。

$\displaystyle \sqrt{7 - 2\sqrt{12}}$$\displaystyle {}= \sqrt{4}$$\displaystyle {}- \sqrt{3}$$\displaystyle {}= \underline{\rule[-0.0839em]{0em}{1.0400em}2}$$\displaystyle \underline{\rule[-0.0839em]{0em}{1.0400em}{}- \sqrt{3}}$

(3) 内側の $\sqrt{\ }$ の前に $2$ がないので、中身の分母・分子に $2$ をかけます。

$\displaystyle \sqrt{4 - \sqrt{15}}$$\displaystyle {}= \sqrt{\frac{8 - 2\sqrt{15}}{2}}$$\displaystyle {}= \frac{\sqrt{5} - \sqrt{3}}{\sqrt{2}}$$\displaystyle {}= \underline{\frac{\sqrt{10} - \sqrt{6}}{2}}$

足して $8$、かけて $15$ の2数 $5$，$3$ を使い、最後に分母を有理化しました。

整数部分と小数部分

公式6：整数部分と小数部分

実数 $x$ に対して、$n$${}\leqq x$${}< n$${}+ 1$ を満たす整数 $n$ を $x$ の整数部分という。$x$${}- n$ を $x$ の小数部分という。

• 小数部分は $0$ 以上 $1$ 未満の数である。
• $\sqrt{a}$ の整数部分は、$n^2$${}\leqq a$${}< (n + 1)^2$ となる整数 $n$ を探して求める。

たとえば $\sqrt{7}$ は、$4$${}< 7$${}< 9$ から $2$${}< \sqrt{7}$${}< 3$ なので、整数部分は $2$ です。小数部分は $0.645\cdots$ と小数で書くのではなく、$\sqrt{7}$${}- 2$ と式で表します。無理数の小数部分は、小数で書ききれないからです。

これは満年齢の数え方と同じです。15歳と8か月の人は「15歳」と名乗り、残りの8か月ぶんは次の誕生日までの途中経過になります。整数部分は「何歳か」、小数部分は「その歳になってからどれだけ過ぎたか」にあたり、途中経過はいつも1年未満です。

整数部分は「$x$ を超えない最大の整数」で、小数部分は「$x$ からその整数を引いた式」で表すということです。

例題6：整数部分と小数部分

(1) $\sqrt{7}$ の整数部分を $a$、小数部分を $b$ とするとき、$a$，$b$ と $b^2$${}+ 4b$ の値を求めなさい。

(2) $\dfrac{2}{\sqrt{5} - 1}$ の整数部分と小数部分を求めなさい。

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【解答】

(1) $2$${}< \sqrt{7}$${}< 3$ より $\underline{a = 2}$，$\underline{\rule[-0.1328em]{0em}{1.0400em}b = \sqrt{7}}$$\underline{\rule[-0.1328em]{0em}{1.0400em}{}- 2}$ です。$b^2$${}+ 4b$${}= b(b + 4)$ と因数分解してから代入すると、計算が楽になります。

$\displaystyle b(b + 4)$$\displaystyle {}= (\sqrt{7} - 2)(\sqrt{7} + 2)$$\displaystyle {}= 7$$\displaystyle {}- 4$$\displaystyle {}= \underline{3}$

(2) まず有理化します。

$\displaystyle \frac{2}{\sqrt{5} - 1}$$\displaystyle {}= \frac{2(\sqrt{5} + 1)}{5 - 1}$$\displaystyle {}= \frac{\sqrt{5} + 1}{2}$

$2$${}< \sqrt{5}$${}< 3$ より $3$${}< \sqrt{5}$${}+ 1$${}< 4$、2で割って $1.5$${}< \dfrac{\sqrt{5} + 1}{2}$${}< 2$ です。整数部分は $\underline{1}$、小数部分は $\dfrac{\sqrt{5} + 1}{2}$${}- 1$${}= \underline{\dfrac{\sqrt{5} - 1}{2}}$ です。

対称式の値

$x$ と $y$ を入れかえても変わらない式を対称式といいます。$x^2$${}+ y^2$ や $x^3$${}+ y^3$ がその例です。

公式7：対称式の値

対称式は、$x$${}+ y$ と $xy$ を用いて表せる。

$\displaystyle \text{(1)}\ x^2$$\displaystyle {}+ y^2$$\displaystyle {}= (x + y)^2$$\displaystyle {}- 2xy$$\displaystyle \text{(2)}\ x^3$$\displaystyle {}+ y^3$$\displaystyle {}= (x + y)^3$$\displaystyle {}- 3xy(x + y)$$\displaystyle \text{(3)}\ (x - y)^2$$\displaystyle {}= (x + y)^2$$\displaystyle {}- 4xy$

$x$${}= \sqrt{3}$${}+ \sqrt{2}$ をそのまま $x^3$ に代入すると、展開がかなり大変です。けれども、$x$ と $y$ がペアで与えられているなら、先に $x$${}+ y$ と $xy$ を求めておくと、ずっと簡単な数で計算できます。$\sqrt{\ }$ を含む2数では、$x$${}+ y$ や $xy$ で $\sqrt{\ }$ が消えることが多いのです。

対称式は、2種類のブロックだけで組み立てる模型のようなものです。どんなに複雑な形の対称式でも、$x$${}+ y$ と $xy$ という2種類の部品を組み合わせれば作れることが知られています。部品さえ手元にあれば、あとは組み立てるだけです。

$x$，$y$ の対称式の値は、先に $x$${}+ y$ と $xy$ を求め、それらの式に書き直してから代入すればよいということです。

例題7：対称式の値を求める

$x$${}= \dfrac{1}{\sqrt{3} - \sqrt{2}}$，$y$${}= \dfrac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{2}}$ のとき、$x$${}+ y$，$xy$，$x^2$${}+ y^2$，$x^3$${}+ y^3$ の値を求めなさい。

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【解答】

有理化すると $x$${}= \sqrt{3}$${}+ \sqrt{2}$，$y$${}= \sqrt{3}$${}- \sqrt{2}$ です。

$\displaystyle x$$\displaystyle {}+ y$$\displaystyle {}= \underline{2\sqrt{3}},$$\displaystyle xy$$\displaystyle {}= (\sqrt{3})^2$$\displaystyle {}- (\sqrt{2})^2$$\displaystyle {}= \underline{1}$

公式7を使います。

$\displaystyle x^2$$\displaystyle {}+ y^2$$\displaystyle {}= (2\sqrt{3})^2$$\displaystyle {}- 2 \cdot 1$$\displaystyle {}= \underline{10}$$\displaystyle x^3$$\displaystyle {}+ y^3$$\displaystyle {}= (2\sqrt{3})^3$$\displaystyle {}- 3 \cdot 1 \cdot 2\sqrt{3}$$\displaystyle {}= 24\sqrt{3}$$\displaystyle {}- 6\sqrt{3}$$\displaystyle {}= \underline{18\sqrt{3}}$