(1) 数学の本を選ぶことと英語の本を選ぶことは同時には起こらない（1冊だけ選ぶ）ので、和の法則より $7$ ${}+ 5$ ${}= \underline{12 \text{ 通り}}$ です。

(2) 数学の本の選び方 $7$ 通りのそれぞれに対して、英語の本の選び方が $5$ 通りずつあるので、積の法則より $7 \times 5$ ${}= \underline{35 \text{ 通り}}$ です。

「どちらか一方」なら足し、「両方を続けて決める」ならかける、という使い分けを確かめる問題です。

19:Tb56,

式 $(a + b)(p + q + r)(x + y + z + w)$ を展開したときの項の個数を求めなさい。

1a:Tf32,

展開した項は、3つのかっこから1文字ずつ選んでかけたものです。選び方は $2$ 通り、 $3$ 通り、 $4$ 通りで、使う文字がすべて違うので、同じ項がまとめられることはありません。

積の法則より $2 \times 3 \times 4$ ${}= \underline{24 \text{ 個}}$ です。

1b:T3b86,

$360$ ${}= 2^3 \times 3^2 \times 5$ と素因数分解できます。約数は $2^i \times 3^j \times 5^k$ （ $0$ ${}\leqq i$ ${}\leqq 3$ ， $0$ ${}\leqq j$ ${}\leqq 2$ ， $0$ ${}\leqq k$ ${}\leqq 1$ ）の形なので、積の法則より

\displaystyle (3 + 1)(2 + 1)(1 + 1)

1c:T116a,

積が奇数になるのは、3個とも奇数の目が出るときです（1つでも偶数があると積は偶数）。奇数の目は $1$ ， $3$ ， $5$ の $3$ 通りなので、積の法則より

\displaystyle 3 \times 3 \times 3

1d:T36f4,

全体は $6 \times 6$ ${}= 36$ 通りです。どちらの目も $5$ 以上でない、つまり2個とも $1$ 〜 $4$ の目が出るのは $4 \times 4$ ${}= 16$ 通りです。

\displaystyle 36

確かめると、大が $5$ 以上（ $2 \times 6$ ${}= 12$ 通り）と小が $5$ 以上（ $12$ 通り）を足し、両方 $5$ 以上（ $2 \times 2$ ${}= 4$ 通り）を引いても $12$ ${}+ 12$ ${}- 4$ ${}= 20$ 通りです。

1e:T3752,

$108$ ${}= 2^2 \times 3^3$ と素因数分解できます。約数の総和は

\displaystyle (1 + 2 + 4)(1 + 3 + 9 + 27)

右辺を展開すると、 $2^i \times 3^j$ （ $0$ ${}\leqq i$ ${}\leqq 2$ ， $0$ ${}\leqq j$ ${}\leqq 3$ ）の $3 \times 4$ ${}= 12$ 個の項、つまり $108$ の約数がちょうど1回ずつ出てきます。

1f:T1ee4,

行きは、A→B が $3$ 通り、そのそれぞれに B→C が $4$ 通りで、 $3 \times 4$ ${}= 12$ 通りです。

帰りは、行きに使った道を除くので、C→B は残りの $3$ 本、B→A は残りの $2$ 本から選びます。 $3 \times 2$ ${}= 6$ 通りです。

行きの $12$ 通りのそれぞれに対して帰りが $6$ 通りずつあるので、積の法則より

\displaystyle 12 \times 6

帰りの道の候補は行きの道順によって変わりますが、本数はいつも同じなので積の法則が使えます。

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