第9章　一次変換と図形

行列 $A$${}= \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}$ が表す一次変換を $f$ とする。次の問いに答えなさい。

(1) 点 $(1,\ 0)$ を通り、方向ベクトルが $\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}$ の直線 $\ell$ の像を求めなさい。

(2) 3 点 $\mathrm{O}(0,\ 0)$，$\mathrm{P}(1,\ 0)$，$\mathrm{Q}(0,\ 1)$ を頂点とする三角形の像を求めなさい。

(3) (2) の三角形の面積と、その像の面積を比べなさい。

【解答】

(1) 通る点の像と、方向ベクトルの像を、それぞれ計算します。

$A\vec{d}$${}\neq \vec{0}$ なので、像は点 $(2,\ 1)$ を通り方向ベクトル $\begin{pmatrix} 4 \\ 7 \end{pmatrix}$ の直線です。$x$ の増加 $4$ に対して $y$ の増加が $7$ ですから、傾きは $\dfrac{7}{4}$ で

検算します。$\ell$ 上の別の点 $(2,\ 2)$（$t$${}= 1$）の像は $A\begin{pmatrix} 2 \\ 2 \end{pmatrix}$${}= \begin{pmatrix} 6 \\ 8 \end{pmatrix}$ で、$7 \times 6$${}- 4 \times 8$${}- 10$${}= 42$${}- 32$${}- 10$${}= 0$。たしかに像の直線の上にあります。

(2) 頂点の像を求めます。$f$ は原点を原点に移します（第 6 章 公式2）。$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$ の像は $A$ の第 1 列・第 2 列そのものです（第 6 章 公式4）。

よって像は $\underline{\rule[-0.25em]{0em}{1.0000em}3 \text{ 点} \ (0,\ 0),}$$\underline{\rule[-0.25em]{0em}{1.0000em}\ (2,\ 1),}$$\underline{\rule[-0.25em]{0em}{1.0000em}\ (1,\ 3) \ \text{を頂点とする三角形}}$ です。

(3) もとの三角形は、直角をはさむ 2 辺が $1$ と $1$ ですから面積は $\dfrac{1}{2}$。像の三角形の面積は、ベクトル第 2 章の公式で

$\dfrac{5}{2} \div \dfrac{1}{2}$${}= 5$ で、面積は $\underline{5 \text{ 倍}}$ になりました。

ここで $A$ の行列式を見てください。$\Delta$${}= 2 \times 3$${}- 1 \times 1$${}= 5$。偶然ではありません。次の節の主題です。

行列 $A$${}= \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}$ が表す一次変換を $f$ とする。次の問いに答えなさい。

(1) $f$ による、1 辺 $1$ の単位正方形の像の面積を求めなさい。

(2) 3 点 $(1,\ 1)$，$(4,\ 2)$，$(2,\ 5)$ を頂点とする三角形の、$f$ による像の面積を求めなさい。

(3) 半径 $2$ の円の、$f$ による像の面積を求めなさい。

(4) $f$ は図形の向きを保つか、裏返すかを定めなさい。

【解答】

まず行列式を 1 度だけ計算します。

(1) 面積 $1$ の $5$ 倍で $\underline{5}$。

(2) もとの三角形の面積を求めます。$(1,\ 1)$ を基準にすると、2 辺のベクトルは $\begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix}$，$\begin{pmatrix} 1 \\ 4 \end{pmatrix}$ ですから

像の面積はその $5$ 倍で $\underline{\dfrac{55}{2}}$ です。

頂点の像を実際に求めて確かめてみましょう。$(1,\ 1)$${}\mapsto (2,\ 3)$，$(4,\ 2)$${}\mapsto (10,\ 10)$，$(2,\ 5)$${}\mapsto (1,\ 9)$。2 辺のベクトルは $\begin{pmatrix} 8 \\ 7 \end{pmatrix}$，$\begin{pmatrix} -1 \\ 6 \end{pmatrix}$ で、面積は $\dfrac{1}{2}|8 \times 6 - 7 \times (-1)|$${}= \dfrac{55}{2}$。合っています。

(3) 円も図形ですから、倍率は同じ $5$ 倍です。もとの面積は $\pi \times 2^2$${}= 4\pi$ なので、像の面積は $\underline{20\pi}$。

なお像そのものは円ではなく楕円になります（あとの節で方程式を求めます）。それでも面積だけなら $\Delta$ を見るだけで分かるところが、この公式の強みです。

(4) $\Delta$${}= 5$${}> 0$ なので $\underline{\text{向きを保つ}}$。

行列 $M$${}= \begin{pmatrix} 2 & -6 \\ -1 & 3 \end{pmatrix}$ が表す一次変換を $g$ とする。次の問いに答えなさい。

(1) $g$ による平面全体の像を求めなさい。

(2) $g$ によって原点に移る点全体を求めなさい。

(3) $g$ による直線 $x$${}- 3y$${}= 1$ の像を求めなさい。

【解答】

$\Delta$${}= 2 \times 3$${}- (-6) \times (-1)$${}= 6$${}- 6$${}= 0$ です。つぶれる変換だと分かります。

(1) 点 $(x,\ y)$ の像を計算します。

$x$${}- 3y$ はあらゆる実数値をとりますから、像はベクトル $\begin{pmatrix} 2 \\ -1 \end{pmatrix}$ の実数倍全体、すなわち原点を通り方向ベクトル $\begin{pmatrix} 2 \\ -1 \end{pmatrix}$ の直線です。

(2) 上の式が $\vec{0}$ になるのは $x$${}- 3y$${}= 0$ のときです。

平面全体が直線 $x$${}+ 2y$${}= 0$ に落ち、そのぶん直線 $x$${}- 3y$${}= 0$ がまるごと原点 1 点に押し込まれた、ということになります。

(3) 直線 $x$${}- 3y$${}= 1$ の上の点は、$x$${}- 3y$ の値がつねに $1$ です。(1) の計算にそのまま代入すれば、像は

つまり $\underline{1 \text{ 点} \ (2,\ -1)}$ です。直線 $x$${}- 3y$${}= 1$ の方向ベクトルは $\begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix}$ で、$M\begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix}$${}= \begin{pmatrix} 6 - 6 \\ -3 + 3 \end{pmatrix}$${}= \vec{0}$。公式1 の「$A\vec{d}$${}= \vec{0}$ なら 1 点」の場合にあたっています。

行列 $A$${}= \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}$ が表す一次変換を $f$ とする。次の図形の $f$ による像の方程式を求めなさい。

(1) 円 $x^2$${}+ y^2$${}= 1$

(2) 直線 $y$${}= 2x$${}+ 1$

(3) 放物線 $y$${}= x^2$

【解答】

$\Delta$${}= 1 \times 1$${}- 1 \times (-1)$${}= 2$${}\neq 0$ なので逆行列があります。

よって

(1) $x^2$${}+ y^2$${}= 1$ に代入します。

左辺の 2 つの項をそれぞれ展開すると

で、足すと $x'y'$ の項が消えます。

したがって像は $\underline{\rule[-0.1944em]{0em}{1.0085em}\text{円} \ x^2}$$\underline{\rule[-0.1944em]{0em}{1.0085em}{}+ y^2 = 2}$、原点を中心とする半径 $\sqrt{2}$ の円です。

面積で検算します。もとの円の面積は $\pi$、像の面積は $2\pi$。倍率は $2$ で、$|\Delta|$${}= 2$ と一致しています。なお $A$${}= \sqrt{2}\,R(-45^\circ)$（第 7 章 公式5）なので、この変換は「$45^\circ$ 時計回りに回して $\sqrt{2}$ 倍に拡大」。円が円のままなのは当然でした。

(2) $y$${}= 2x$${}+ 1$ に代入します。

検算します。もとの直線上の点 $(0,\ 1)$ の像は $A\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}$${}= \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$ で、$1$${}- 3$${}+ 2$${}= 0$。点 $(1,\ 3)$ の像は $\begin{pmatrix} 4 \\ 2 \end{pmatrix}$ で、$4$${}- 6$${}+ 2$${}= 0$。どちらも像の直線の上にあります。

(3) $y$${}= x^2$ に代入します。

放物線を $45^\circ$ 回して $\sqrt{2}$ 倍したのですから、像もやはり放物線で、軸が斜めを向いています。検算は点で。$(2,\ 4)$ の像は $\begin{pmatrix} 6 \\ 2 \end{pmatrix}$ で、左辺 $(6 - 2)^2$${}= 16$、右辺 $2(6 + 2)$${}= 16$。一致します。

次の行列が表す一次変換の不動点を、すべて求めなさい。

(1) $A$${}= \begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$

(2) $B$${}= \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}$

(3) $R(60^\circ)$

【解答】

(1) $A$${}- E$${}= \begin{pmatrix} 2 & 2 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$ で、$\delta$${}= 2 \times 1$${}- 2 \times 1$${}= 0$。解は無数にあります。連立

は 2 本とも同じ条件 $x$${}+ y$${}= 0$ を表しています。よって不動点は $\underline{\text{直線} \ y = -x \ \text{上のすべての点}}$。

検算します。$(1,\ -1)$ の像は $\begin{pmatrix} 3 - 2 \\ 1 - 2 \end{pmatrix}$${}= \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}$。たしかに動きません。

(2) $B$${}- E$${}= \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$ で、$\delta$${}= 1 \times 2$${}- 1 \times 0$${}= 2$${}\neq 0$。したがって不動点は $\underline{\text{原点のみ}}$ です。

(3) $R(60^\circ)$${}- E$${}= \begin{pmatrix} \cos 60^\circ - 1 & -\sin 60^\circ \\ \sin 60^\circ & \cos 60^\circ - 1 \end{pmatrix}$ の行列式は

$\delta$${}= 1$${}\neq 0$ なので $\underline{\text{原点のみ}}$。

一般に $\det(R(\theta) - E)$${}= 2$${}- 2\cos\theta$ で、$\theta$ が $360^\circ$ の倍数でない限り $0$ になりません。回して動かないのは回転の中心だけ、という当たり前の事実が、行列式の計算に現れているわけです。

行列 $A$${}= \begin{pmatrix} 4 & 2 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}$ が表す一次変換を $f$ とする。次の問いに答えなさい。