第3章　逆行列と行列式

割り算のかわりになるもの

数の世界では、$3x$${}= 6$ を「両辺を $3$ で割って $x$${}= 2$」と解きました。もう少していねいに言えば、両辺に $\dfrac{1}{3}$ をかけたのです。$\dfrac{1}{3}$ は、$3$ にかけると $1$ になる数でした。

行列では割り算を定めません。$\dfrac{B}{A}$ という書き方もしません。積が $AB$${}\neq BA$ なのですから、左から割るのか右から割るのかが決まらず、記号として意味をなさないのです。そのかわりに、逆数にあたるものを用意します。かけると単位行列 $E$ になる相手です。

公式1：逆行列

2 次の正方行列 $A$ に対して

$\displaystyle AB$$\displaystyle {}= BA$$\displaystyle {}= E$

を満たす 2 次の正方行列 $B$ が存在するとき、$B$ を $A$ の逆行列といい、$A^{-1}$ と書く（「$A$ インバース」と読む）。

逆行列を持つ行列を正則な行列という。$\dfrac{1}{A}$ や $\dfrac{B}{A}$ という書き方はしない。

第 1 章で $-A$ を「加法の逆元」と呼びました。あれは足すと零行列 $O$ になる相手で、どんな行列にも必ずありました。今度の逆行列はかけると単位行列 $E$ になる相手です。名前は似ていますが別物で、しかもこちらは存在しないことがあります。

行列は点を動かす操作でもありました（第 2 章 公式3）。その見方でいうと、逆行列は動かした点をもとの位置に引き戻す操作です。$A$ で動かしてから $A^{-1}$ で戻せば、点は最初の場所に帰ってくる。$A^{-1}A$${}= E$ とは「行って、帰ってきたら、何もしていないのと同じ」という式なのです。

逆行列とは、かけると単位行列になる相手のことで、数の逆数にあたる「もとに戻す」役目を持つということです。

例題1：定義から逆行列を求める

$A$${}= \begin{pmatrix} 3 & 5 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$ とする。$AX$${}= E$ を満たす 2 次の正方行列 $X$ を求め、それが $XA$${}= E$ も満たすことを確かめなさい。

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【解答】

$X$${}= \begin{pmatrix} x & y \\ z & w \end{pmatrix}$ とおいて左辺を計算します。

$\displaystyle AX$$\displaystyle {}= \begin{pmatrix} 3x + 5z & 3y + 5w \\ x + 2z & y + 2w \end{pmatrix}$$\displaystyle {}= \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$

第 1 列を比べると $3x$${}+ 5z$${}= 1$，$x$${}+ 2z$${}= 0$。後者から $x$${}= -2z$ で、前者に入れると $-6z$${}+ 5z$${}= 1$、すなわち $z$${}= -1$，$x$${}= 2$。

第 2 列を比べると $3y$${}+ 5w$${}= 0$，$y$${}+ 2w$${}= 1$。後者から $y$${}= 1$${}- 2w$ で、前者に入れると $3$${}- 6w$${}+ 5w$${}= 0$、すなわち $w$${}= 3$，$y$${}= -5$。

$\displaystyle X$$\displaystyle {}= \underline{\begin{pmatrix} 2 & -5 \\ -1 & 3 \end{pmatrix}}$

$XA$ も計算しておきます。

$\displaystyle XA$$\displaystyle {}= \begin{pmatrix} 2 & -5 \\ -1 & 3 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 3 & 5 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$$\displaystyle {}= \begin{pmatrix} 6 - 5 & 10 - 10 \\ -3 + 3 & -5 + 6 \end{pmatrix}$$\displaystyle {}= \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$

たしかに $E$ になりました。よって $X$${}= A^{-1}$ です。

毎回この連立を解くのは大変です。次の節で、一発で書き下せる公式を作ります。

逆行列の公式と行列式

例題1 の計算を、数字ではなく文字のままやってみます。$A$${}= \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ に対して、$a$ と $d$ を入れかえ、$b$ と $c$ の符号を変えた行列

$\displaystyle \tilde{A}$$\displaystyle {}= \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}$

を用意し、$A$ にかけてみましょう。

$\displaystyle A\tilde{A}$$\displaystyle {}= \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}\begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}$$\displaystyle {}= \begin{pmatrix} ad - bc & -ab + ba \\ cd - dc & -cb + da \end{pmatrix}$$\displaystyle {}= \begin{pmatrix} ad - bc & 0 \\ 0 & ad - bc \end{pmatrix}$

対角線以外がきれいに消えて、$(ad - bc)E$ という形が現れました。$\tilde{A}A$ も同じ結果になります。つまり

$\displaystyle A\tilde{A}$$\displaystyle {}= \tilde{A}A$$\displaystyle {}= (ad - bc)E$

あと一歩です。$ad$${}- bc$ が $0$ でなければ、両辺をこの数で割って（行列の実数倍ですから、これはできます）

$\displaystyle A \cdot \frac{1}{ad - bc}\tilde{A}$$\displaystyle {}= E$

$\dfrac{1}{ad - bc}\tilde{A}$ こそが $A^{-1}$ です。

公式2：行列式と逆行列

$A$${}= \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ に対して

$\displaystyle \Delta$$\displaystyle {}= ad$$\displaystyle {}- bc$

を $A$ の行列式といい、$\det A$ とも書く。

$\Delta$${}\neq 0$ のとき $A$ は逆行列を持ち

$\displaystyle A^{-1}$$\displaystyle {}= \frac{1}{\Delta}\begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}$$\displaystyle {}= \frac{1}{ad - bc}\begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}$

作り方は 3 手です。たすきにかけて引いた $\Delta$${}= ad$${}- bc$ を出す、$a$ と $d$ を入れかえ、$b$ と $c$ の符号を変える、$\Delta$ で割る。$a$ と $d$ は入れかえ、$b$ と $c$ はその場で符号だけ、という非対称なところが覚えにくいので、作ったら $AA^{-1}$${}= E$ を暗算で確かめる癖をつけると安心です。

この $\Delta$${}= ad$${}- bc$ という量、実は初めてではありません。ベクトルの第 2 章では、$\vec{a}$${}= (a_1,\ a_2)$，$\vec{b}$${}= (b_1,\ b_2)$ が平行になる条件として $D$${}= a_1b_2$${}- a_2b_1$${}= 0$ が出てきました。図形と方程式の第 3 章でも、2 直線が平行かどうかの判定に同じ形の $D$ が現れています。どちらも「大学で行列式と呼ばれる量」と予告だけしてありました。それがこれです。成分を縦に並べて $\begin{pmatrix} a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2 \end{pmatrix}$ という行列を作れば、$D$ はその行列式にほかなりません。

$\Delta$${}= ad$${}- bc$ を行列式といい、これが $0$ でなければ、$a$ と $d$ を入れかえて $b$，$c$ の符号を変え $\Delta$ で割るだけで逆行列が書けるということです。

例題2：公式で逆行列を求める

次の行列の逆行列を求めなさい。

(1) $A$${}= \begin{pmatrix} 2 & 5 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}$　　(2) $B$${}= \begin{pmatrix} 4 & 6 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$

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【解答】

(1) $\Delta$${}= 2 \times 3$${}- 5 \times 1$${}= 1$ です。$0$ でないので逆行列があります。

$\displaystyle A^{-1}$$\displaystyle {}= \frac{1}{1}\begin{pmatrix} 3 & -5 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}$$\displaystyle {}= \underline{\begin{pmatrix} 3 & -5 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}}$

(2) $\Delta$${}= 4 \times 2$${}- 6 \times 1$${}= 2$ です。

$\displaystyle B^{-1}$$\displaystyle {}= \frac{1}{2}\begin{pmatrix} 2 & -6 \\ -1 & 4 \end{pmatrix}$$\displaystyle {}= \underline{\begin{pmatrix} 1 & -3 \\ -\dfrac{1}{2} & 2 \end{pmatrix}}$

分数が出るときは $\dfrac{1}{2}\begin{pmatrix} 2 & -6 \\ -1 & 4 \end{pmatrix}$ の形のまま答えてもかまいません。むしろその形のほうが、あとで別の行列とかけるときに計算が楽です。

検算すると $BB^{-1}$${}= \dfrac{1}{2}\begin{pmatrix} 4 & 6 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 2 & -6 \\ -1 & 4 \end{pmatrix}$${}= \dfrac{1}{2}\begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$${}= E$ です。

逆行列を持たない行列

数では、逆数を持たないのは $0$ ただ 1 つでした。行列では事情が違います。$\Delta$${}= 0$ の行列は、零行列でなくても逆行列を持ちません。

なぜかを見ておきます。$\Delta$${}= 0$ のとき、先ほどの $\tilde{A}$${}= \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}$ について $A\tilde{A}$${}= 0 \cdot E$${}= O$ でした。ここで $A$ に逆行列があったとしましょう。$A\tilde{A}$${}= O$ の両辺に左から $A^{-1}$ をかけると

$\displaystyle A^{-1}A\tilde{A}$$\displaystyle {}= A^{-1}O$$\displaystyle {}\Longrightarrow\quad \tilde{A}$$\displaystyle {}= O$

$\tilde{A}$${}= O$ ということは $a$${}= b$${}= c$${}= d$${}= 0$、つまり $A$${}= O$ です。しかし零行列は $OX$${}= O$${}\neq E$ ですから逆行列を持ちません。どちらに転んでも矛盾します。

公式3：逆行列を持つ条件

$\displaystyle A \ \text{が逆行列を持つ}$$\displaystyle {}\iff \Delta$$\displaystyle {}= ad$$\displaystyle {}- bc$$\displaystyle {}\neq 0$

$\Delta$${}= 0$ のとき、$A$ は逆行列を持たない。このような行列を正則でない行列という。

また $\Delta$${}= 0$ かつ $A$${}\neq O$ のとき、$AB$${}= O$ となる $B$${}\neq O$ が存在する（$B$${}= \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}$ がその一例）。

第 2 章の実践問題 j10 で、$\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 4 \end{pmatrix}$ のように「第 2 行が第 1 行の定数倍」になった行列どうしの積が零行列になりました。そこで「見分ける量は第 3 章の $ad$${}- bc$」と書いたのが、この公式3 です。第 2 行が第 1 行の $k$ 倍なら $c$${}= ka$，$d$${}= kb$ で、$\Delta$${}= a \cdot kb$${}- b \cdot ka$${}= 0$。零因子になれるのは、ちょうど $\Delta$${}= 0$ の行列だったのです。

$\Delta$${}= 0$ の行列が何をしているのかも、点を動かす操作として見ると腑に落ちます。たとえば $\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 4 \end{pmatrix}$ で点 $(x,\ y)$ を動かすと、行き先は $(x + 2y,\ 2x + 4y)$。どんな点から出発しても、行き先は必ず $y$${}= 2x$ という 1 本の直線の上に乗ります。平面全体が直線につぶれてしまうのです。

立体に光を当てて壁に映した影を思い浮かべてください。影を見ても、もとの立体の形は復元できません。厚みの情報が消えてしまったからです。$\Delta$${}= 0$ の行列も同じで、平面を直線につぶす（あるいは 1 点につぶす）ため、行き先から出発点をたどれない。だから「もとに戻す操作」である逆行列が存在しないわけです。

逆行列を持つかどうかは $\Delta$${}\neq 0$ で決まり、$\Delta$${}= 0$ の行列は平面をつぶしてしまうのでもとに戻せないということです。

例題3：逆行列を持つかを調べる

(1) 次の 3 つの行列のうち、逆行列を持つものを選びなさい。

$\displaystyle A$$\displaystyle {}= \begin{pmatrix} 3 & -6 \\ -2 & 4 \end{pmatrix},$$\displaystyle B$$\displaystyle {}= \begin{pmatrix} 5 & 2 \\ 7 & 3 \end{pmatrix},$$\displaystyle C$$\displaystyle {}= \begin{pmatrix} 0 & -3 \\ 2 & 0 \end{pmatrix}$

(2) $M$${}= \begin{pmatrix} a & 3 \\ 2 & a - 1 \end{pmatrix}$ が逆行列を持たないとき、実数 $a$ の値を求めなさい。

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【解答】

(1) それぞれ行列式を計算します。

• $A$：$3 \times 4$${}- (-6) \times (-2)$${}= 12$${}- 12$${}= 0$
• $B$：$5 \times 3$${}- 2 \times 7$${}= 15$${}- 14$${}= 1$
• $C$：$0 \times 0$${}- (-3) \times 2$${}= 6$

$$\underline{B \ \text{と} \ C}$$

$A$ は成分に $0$ が 1 つもないのに逆行列を持たず、$C$ は $0$ が 2 つあるのに持ちます。$0$ の個数ではなく $\Delta$ で決まる、ということです。

(2) 逆行列を持たないのは $\Delta$${}= 0$ のときです。

$\displaystyle \Delta$$\displaystyle {}= a(a - 1)$$\displaystyle {}- 3 \times 2$$\displaystyle {}= a^2$$\displaystyle {}- a$$\displaystyle {}- 6$$\displaystyle {}= (a - 3)(a + 2)$$\displaystyle (a - 3)(a + 2)$$\displaystyle {}= 0$$\displaystyle {}\Longrightarrow\quad \underline{\rule[-0.1944em]{0em}{0.8389em}a = 3,}$$\displaystyle \underline{\rule[-0.1944em]{0em}{0.8389em}{}\ -2}$

逆にいえば、$a$${}\neq 3$ かつ $a$${}\neq -2$ のとき $M$ は正則です。

逆行列の性質

逆行列どうしの関係を整理しておきます。ここでも「操作をもとに戻す」という見方が道案内になります。

公式4：逆行列の性質

$A$，$B$ を正則な 2 次の正方行列、$k$ を $0$ でない実数とする。

$\displaystyle (A^{-1})^{-1}$$\displaystyle {}= A,$$\displaystyle (kA)^{-1}$$\displaystyle {}= \frac{1}{k}A^{-1}$$\displaystyle (AB)^{-1}$$\displaystyle {}= B^{-1}A^{-1}$$\displaystyle (\text{順番が入れかわる})$

また $A^{-n}$${}= (A^{-1})^n$${}= (A^n)^{-1}$（$n$ は正の整数）と定める。

注意すべきは $(AB)^{-1}$${}= B^{-1}A^{-1}$ です。$A^{-1}B^{-1}$ ではありません。確かめるのは簡単で、

$\displaystyle (AB)(B^{-1}A^{-1})$$\displaystyle {}= A(BB^{-1})A^{-1}$$\displaystyle {}= AEA^{-1}$$\displaystyle {}= AA^{-1}$$\displaystyle {}= E$

順番を入れかえてはいけない理由は、第 2 章の靴下と靴の話に戻るとよくわかります。靴下をはいてから靴をはいたのなら、脱ぐときは靴が先で靴下が後です。「$A$ してから $B$ する」を取り消すには、「$B$ を取り消してから $A$ を取り消す」。後にやったことから順にほどいていくわけで、順番が逆になるのはごく自然なのです。

積の逆行列は $B^{-1}A^{-1}$ と順番が入れかわる、つまり後にかけたほうから先にほどくということです。

例題4：積の逆行列

$A$${}= \begin{pmatrix} 2 & 5 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}$，$B$${}= \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}$ とする。$(AB)^{-1}$ を求め、それが $B^{-1}A^{-1}$ と一致し、$A^{-1}B^{-1}$ とは一致しないことを確かめなさい。

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【解答】

まず $AB$ を計算します。

$\displaystyle AB$$\displaystyle {}= \begin{pmatrix} 2 & 5 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}$$\displaystyle {}= \begin{pmatrix} 7 & 19 \\ 4 & 11 \end{pmatrix}$

行列式は $7 \times 11$${}- 19 \times 4$${}= 77$${}- 76$${}= 1$ なので

$\displaystyle (AB)^{-1}$$\displaystyle {}= \underline{\begin{pmatrix} 11 & -19 \\ -4 & 7 \end{pmatrix}}$

一方、$A^{-1}$${}= \begin{pmatrix} 3 & -5 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}$（例題2）、$B$ は $\Delta$${}= 3$${}- 2$${}= 1$ より $B^{-1}$${}= \begin{pmatrix} 3 & -2 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}$ です。

$\displaystyle B^{-1}A^{-1}$$\displaystyle {}= \begin{pmatrix} 3 & -2 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 3 & -5 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}$$\displaystyle {}= \begin{pmatrix} 9 + 2 & -15 - 4 \\ -3 - 1 & 5 + 2 \end{pmatrix}$$\displaystyle {}= \begin{pmatrix} 11 & -19 \\ -4 & 7 \end{pmatrix}$

$(AB)^{-1}$ と一致しました。順番を逆にすると

$\displaystyle A^{-1}B^{-1}$$\displaystyle {}= \begin{pmatrix} 3 & -5 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 3 & -2 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}$$\displaystyle {}= \begin{pmatrix} 14 & -11 \\ -5 & 4 \end{pmatrix}$

まったく別の行列です。

行列式の性質

行列式には、逆行列の存在を見分ける以外の顔もあります。積との相性がとてもよいのです。

公式5：行列式の性質

2 次の正方行列 $A$，$B$ と実数 $k$、正の整数 $n$ について

$\displaystyle \det(AB)$$\displaystyle {}= \det A \cdot \det B,$$\displaystyle \det(A^n)$$\displaystyle {}= (\det A)^n$$\displaystyle \det(kA)$$\displaystyle {}= k^2 \det A$

$A$ が正則のとき

$\displaystyle \det(A^{-1})$$\displaystyle {}= \frac{1}{\det A}$

$\det(AB)$${}= \det A \cdot \det B$ は成分で計算すれば確かめられます（厳密定義のページで示します）。積では $AB$${}\neq BA$ と順番にうるさかったのに、行列式にしてしまえばただの数のかけ算になり、$\det(AB)$${}= \det(BA)$ さえ成り立つ。行列の複雑さを $1$ つの数に集約したときの、気持ちのよい性質です。

この式からすぐ言えることがあります。$AB$ が正則 ⟺ $\det A$${}\neq 0$ かつ $\det B$${}\neq 0$。つまり正則な行列どうしの積は必ず正則で、逆に片方でもつぶれていれば積もつぶれます。影の例えでいえば、一度つぶれたものは後から何をかけても復元できない、ということです。

$\det(kA)$${}= k^2\det A$ で $k$ が 2 乗になるのは、$kA$ が 4 つの成分すべてを $k$ 倍しているためです。$\Delta$ は 2 つの成分の積でできているので、$k$ が 2 回効きます。

行列式は積をそのままかけ算に変える量で、正則な行列どうしの積は必ず正則だということです。

例題5：逆行列と累乗

$A$${}= \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 3 & 2 \end{pmatrix}$ とする。$A^{-1}$ と $(A^2)^{-1}$ を求め、$(A^2)^{-1}$${}= (A^{-1})^2$ を確かめなさい。

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【解答】

$\Delta$${}= 2 \times 2$${}- 1 \times 3$${}= 1$ なので

$\displaystyle A^{-1}$$\displaystyle {}= \underline{\begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -3 & 2 \end{pmatrix}}$

次に $A^2$${}= \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 3 & 2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 3 & 2 \end{pmatrix}$${}= \begin{pmatrix} 7 & 4 \\ 12 & 7 \end{pmatrix}$。行列式は $49$${}- 48$${}= 1$（たしかに $\det(A^2)$${}= (\det A)^2$${}= 1$ です）。

$\displaystyle (A^2)^{-1}$$\displaystyle {}= \underline{\begin{pmatrix} 7 & -4 \\ -12 & 7 \end{pmatrix}}$

一方

$\displaystyle (A^{-1})^2$$\displaystyle {}= \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -3 & 2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -3 & 2 \end{pmatrix}$$\displaystyle {}= \begin{pmatrix} 4 + 3 & -2 - 2 \\ -6 - 6 & 3 + 4 \end{pmatrix}$$\displaystyle {}= \begin{pmatrix} 7 & -4 \\ -12 & 7 \end{pmatrix}$

一致しました。$(AA)^{-1}$${}= A^{-1}A^{-1}$ は公式4 の順番の入れかえがあっても同じ行列どうしなので、結果として素直な形になります。

行列の方程式を解く

いよいよ逆行列のご利益です。第 2 章では $\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}X$${}= \begin{pmatrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{pmatrix}$ を、成分を文字でおいて連立方程式を 2 組解きました。逆行列があれば、かけるだけで終わります。

公式6：行列の方程式

$A$ が正則であるとき

$\displaystyle AX$$\displaystyle {}= B$$\displaystyle {}\Longrightarrow\quad X$$\displaystyle {}= A^{-1}B$$\displaystyle (\text{左から} \ A^{-1} \ \text{をかける})$$\displaystyle XA$$\displaystyle {}= B$$\displaystyle {}\Longrightarrow\quad X$$\displaystyle {}= BA^{-1}$$\displaystyle (\text{右から} \ A^{-1} \ \text{をかける})$

$A^{-1}$ をどちら側からかけるかで答えが変わる。$X$ に接している側からかける、と覚える。

なぜ側を選ぶのかは、式を見れば明らかです。$AX$${}= B$ で右から $A^{-1}$ をかけても $AXA^{-1}$ となり、$X$ は取り出せません。$X$ にくっついている $A$ を消したいのですから、$A$ と同じ側、つまり左からかけるしかないのです。

行列の方程式は逆行列をかけて解けますが、左からか右からかを間違えると答えが変わるということです。

例題6：方程式を逆行列で解く

次の方程式を満たす 2 次の正方行列 $X$ を求めなさい。

(1) $\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}X$${}= \begin{pmatrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{pmatrix}$　　(2) $X\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 3 & 2 \end{pmatrix}$${}= \begin{pmatrix} 4 & 3 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$

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【解答】

(1) $A$${}= \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$ の行列式は $4$${}- 6$${}= -2$ なので

$\displaystyle A^{-1}$$\displaystyle {}= \frac{1}{-2}\begin{pmatrix} 4 & -2 \\ -3 & 1 \end{pmatrix}$$\displaystyle {}= \begin{pmatrix} -2 & 1 \\ \dfrac{3}{2} & -\dfrac{1}{2} \end{pmatrix}$

$X$ に接しているのは左側なので、左から $A^{-1}$ をかけます。

$\displaystyle X$$\displaystyle {}= A^{-1}\begin{pmatrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{pmatrix}$$\displaystyle {}= \frac{1}{-2}\begin{pmatrix} 4 & -2 \\ -3 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{pmatrix}$$\displaystyle {}= \frac{1}{-2}\begin{pmatrix} 6 & 8 \\ -8 & -10 \end{pmatrix}$$\displaystyle {}= \underline{\begin{pmatrix} -3 & -4 \\ 4 & 5 \end{pmatrix}}$

第 2 章の j15 と同じ問題です。あちらは未知数 4 つの連立を解きましたが、こちらは逆行列を作ってかけるだけで済みました。

(2) $C$${}= \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 3 & 2 \end{pmatrix}$ の行列式は $1$ で、$C^{-1}$${}= \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -3 & 2 \end{pmatrix}$。今度は $X$ の右側に $C$ があるので、右からかけます。

$\displaystyle X$$\displaystyle {}= \begin{pmatrix} 4 & 3 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}C^{-1}$$\displaystyle {}= \begin{pmatrix} 4 & 3 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -3 & 2 \end{pmatrix}$$\displaystyle {}= \begin{pmatrix} 8 - 9 & -4 + 6 \\ 2 - 0 & -1 + 0 \end{pmatrix}$$\displaystyle {}= \underline{\begin{pmatrix} -1 & 2 \\ 2 & -1 \end{pmatrix}}$

うっかり左からかけて $C^{-1}\begin{pmatrix} 4 & 3 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$${}= \begin{pmatrix} 7 & 6 \\ -10 & -9 \end{pmatrix}$ としてしまうと、まったく違う行列になります。

「両辺を割る」ができる場面

第 2 章の j16 では、$A$${}\neq O$ なのに $AB$${}= AC$ かつ $B$${}\neq C$ という例を見ました。数なら両辺を $A$ で割って $B$${}= C$ と言えたのに、行列ではそれが通らなかったわけです。いま、その境目がはっきり引けます。

公式7：消去法則

$A$ が正則であるとき

$\displaystyle AX$$\displaystyle {}= AY$$\displaystyle {}\Longrightarrow\quad X$$\displaystyle {}= Y,$$\displaystyle XA$$\displaystyle {}= YA$$\displaystyle {}\Longrightarrow\quad X$$\displaystyle {}= Y$

$A$ が正則でないときは成り立たない。とくに $AB$${}= O$ から $B$${}= O$ を導けるのも、$A$ が正則なときだけである。

証明は 1 行です。$AX$${}= AY$ の両辺に左から $A^{-1}$ をかければ $X$${}= Y$。逆に $A$ が正則でなければ $A^{-1}$ が存在しないので、この手が使えません。

「$A$${}\neq O$ だから割ってよい」ではなく、「$A$ が正則だから割ってよい」。数の世界の $a$${}\neq 0$ にあたる条件は、行列では $A$${}\neq O$ ではなく $\det A$${}\neq 0$ なのです。この読みかえは、これから先ずっと効いてきます。

行列の式で両辺を約してよいのは、その行列が正則なときだけだということです。

例題7：約せるときと約せないとき

$X$，$Y$ を 2 次の正方行列とする。

(1) $A$${}= \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 3 & 2 \end{pmatrix}$ のとき、$AX$${}= AY$ ならば $X$${}= Y$ であることを示しなさい。

(2) $A$${}= \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$ のときは (1) が成り立たないことを、例をあげて示しなさい。

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【解答】

(1) $\det A$${}= 2 \times 2$${}- 1 \times 3$${}= 1$${}\neq 0$ なので $A$ は正則で、$A^{-1}$${}= \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -3 & 2 \end{pmatrix}$ が存在します。$AX$${}= AY$ の両辺に左から $A^{-1}$ をかけると

$\displaystyle A^{-1}(AX)$$\displaystyle {}= A^{-1}(AY)$$\displaystyle {}\Longrightarrow\quad (A^{-1}A)X$$\displaystyle {}= (A^{-1}A)Y$$\displaystyle {}\Longrightarrow\quad EX$$\displaystyle {}= EY$

よって $X$${}= Y$ です。（結合法則を使ってかっこを付けかえている点に注意します。）

(2) $\det A$${}= 1 \times 1$${}- 1 \times 1$${}= 0$ で、$A$ は正則ではありません。実際

$\displaystyle X$$\displaystyle {}= \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix},$$\displaystyle Y$$\displaystyle {}= \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 2 & 3 \end{pmatrix}$

とすると $AX$${}= AY$${}= \begin{pmatrix} 4 & 6 \\ 4 & 6 \end{pmatrix}$ ですが、$X$${}\neq Y$ です。

$A$ のように $\Delta$${}= 0$ の行列は平面をつぶしてしまうので、行き先が同じでも出発点が同じとは限りません。約せない理由は、ここにあります。

次の章では、この逆行列を連立一次方程式にぶつけます。$\begin{cases} ax + by = p \\ cx + dy = q \end{cases}$ は $A\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$${}= \begin{pmatrix} p \\ q \end{pmatrix}$ と 1 本の式に書け、$\Delta$${}\neq 0$ なら $\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$${}= A^{-1}\begin{pmatrix} p \\ q \end{pmatrix}$ で解が一発で出ます。では $\Delta$${}= 0$ のときはどうなるのか。解が無いのか、無数にあるのか。それが 2 直線の位置関係と、ぴたりと対応します。