(1) 2点 $(1,\ 3)$ ， $(7,\ 3)$ を焦点とし、長軸の長さが $10$ である楕円

(2) 点 $(2,\ -1)$ を焦点とし、直線 $x$ ${}= -4$ を準線とする放物線

(3) 2点 $(-1,\ 0)$ ， $(-1,\ 6)$ を焦点とし、焦点からの距離の差が $4$ である双曲線

上の (1)〜(3) の曲線の方程式を、それぞれ求めなさい。

1b:T314e,

(1) $\dfrac{(x - 4)^2}{25}$ ${}+ \dfrac{(y - 3)^2}{16}$ ${}= 1$ 　(2) $(y + 1)^2$ ${}= 12(x + 1)$ 　(3) $\dfrac{(x + 1)^2}{5}$ ${}- \dfrac{(y - 3)^2}{4}$ ${}= -1$

1c:Tc5bd,

まず中心（放物線は頂点）を求め、そこから焦点までの距離 $c$ を読みます。

(1) 中心は焦点の中点 $(4,\ 3)$ 、 $c$ ${}= 3$ です。長軸は $x$ 軸に平行で、その長さの半分は $5$ 、短軸の長さの半分は $\sqrt{25 - 9}$ ${}= 4$ です。よって $\underline{\rule[-0.686em]{0em}{2.1771em}\dfrac{(x - 4)^2}{25}}$ $\underline{\rule[-0.686em]{0em}{2.1771em}{}+ \dfrac{(y - 3)^2}{16} = 1}$ です。

(2) 焦点 $(2,\ -1)$ から準線 $x$ ${}= -4$ に下ろした垂線の足は $(-4,\ -1)$ で、頂点はその中点 $(-1,\ -1)$ です。頂点から焦点までの距離は $c$ ${}= 2$ ${}- (-1)$ ${}= 3$ で、焦点は右側にあります。よって $\underline{(y + 1)^2 = 12(x + 1)}$ です。

(3) 中心は焦点の中点 $(-1,\ 3)$ で、焦点は中心から上下に $c$ ${}= 3$ ずつ離れています。焦点が $y$ 軸に平行な直線上にあるので、 $\dfrac{(x + 1)^2}{a^2}$ ${}- \dfrac{(y - 3)^2}{b^2}$ ${}= -1$ とおけます。このとき距離の差は $2b$ なので $b$ ${}= 2$ 、 $a^2$ ${}= c^2$ ${}- b^2$ ${}= 9$ ${}- 4$ ${}= 5$ です。よって $\underline{\rule[-0.686em]{0em}{2.1771em}\dfrac{(x + 1)^2}{5}}$ $\underline{\rule[-0.686em]{0em}{2.1771em}{}- \dfrac{(y - 3)^2}{4} = -1}$ です。

（確かめ）(3) の上の頂点 $(-1,\ 5)$ から2つの焦点までの距離は $1$ と $5$ で、差は $4$ です。(2) では、原点にある $y^2$ ${}= 12x$ の焦点 $(3,\ 0)$ ，準線 $x$ ${}= -3$ を $(-1,\ -1)$ だけずらすと、焦点 $(2,\ -1)$ ，準線 $x$ ${}= -4$ になります。

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