(1) $f'(x)$ ${}= e^x$ ${}+ \dfrac{1}{x}\ (x > 0)$ ， $f(1)$ ${}= e$

(2) $f'(x)$ ${}= \cos x$ ${}- \sin x$ ， $f(0)$ ${}= 2$

上の条件を満たす関数 $f(x)$ を求めなさい。

19:T15db,

(1) $f(x)$ ${}= e^x$ ${}+ \log x$ 　(2) $f(x)$ ${}= \sin x$ ${}+ \cos x$ ${}+ 1$

1a:T7a84,

第7章公式4と同じく、不定積分を求めてから条件で $C$ を決めます。

(1) $x$ ${}> 0$ なので

\displaystyle f(x)

$f(1)$ ${}= e$ ${}+ 0$ ${}+ C$ ${}= e$ より $C$ ${}= 0$ です。

\displaystyle \underline{\rule[-0.25em]{0em}{1.0000em}f(x) = e^x}

(2)

\displaystyle f(x)

$f(0)$ ${}= 0$ ${}+ 1$ ${}+ C$ ${}= 2$ より $C$ ${}= 1$ です。

\displaystyle \underline{\rule[-0.25em]{0em}{1.0000em}f(x) = \sin x}

1b:T194c,

\displaystyle \text{(1)}\ \int \sqrt{2x + 1}\,dx

上の不定積分を求めなさい。

1c:T252c,

(1) $\dfrac{1}{3}(2x + 1)\sqrt{2x + 1}$ ${}+ C$ 　(2) $-\dfrac{1}{3}e^{-3x + 1}$ ${}+ C$ 　(3) $\dfrac{1}{3}\log|3x - 2|$ ${}+ C$

1d:T9af0,

$\displaystyle \int f(ax + b)\,dx$ $\displaystyle {}= \frac{1}{a}F(ax + b)$ $\displaystyle {}+ C$ を使います。

(1) $u^{\frac{1}{2}}$ の原始関数は $\dfrac{2}{3}u^{\frac{3}{2}}$ なので

\displaystyle \int (2x + 1)^{\frac{1}{2}}\,dx

(2) $a$ ${}= -3$ なので

\displaystyle \int e^{-3x + 1}\,dx

(3) $\dfrac{1}{u}$ の原始関数は $\log|u|$ なので

\displaystyle \int \frac{1}{3x - 2}\,dx

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