目次／微分積分／数学II

第1章　極限と微分係数

—— 微分の出発点となる「近づく」という考え方 ——

この章では、微分のいちばん最初に登場する「極限」「平均変化率」「微分係数」の3つを学びます。どれも「変化のようす」を数で表すための道具です。

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基1 基2 基3 基4 基5 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

未回答 25× 0○ 01か月定着 0

関数の極限

関数 $f(x)$ で、 $x$ が $a$ と異なる値をとりながら $a$ に限りなく近づくとき、 $f(x)$ の値が一定の値 $\alpha$ に限りなく近づくならば、これを次のように書きます。

公式1：極限値の表し方

\displaystyle \lim_{x \to a} f(x)

「 $x$ が $a$ に近づくとき、 $f(x)$ は $\alpha$ に近づく」と読みます。 $\alpha$ を極限値といいます。

多項式（ $x^2$ ${}+3x$ など）なら、 $x$ ${}=a$ をそのまま代入した値が極限値になります。
分数の形で、代入すると $\dfrac{0}{0}$ になる場合は、約分してから代入します。

身近な例でいうと、極限は「駅に近づいていく電車」のようなものです。電車がまだ駅に到着していなくても、「どこに向かって近づいているか（＝駅）」は決まっていますよね。極限も同じで、 $x$ ${}=a$ ちょうどの値そのものではなく、「近づいた先がどこか」を考えます。

極限とは「代入した瞬間の値」ではなく「限りなく近づいた行き先の値」を求める考え方だということです。

例題1：極限値を求める

次の極限値を求めなさい。

\displaystyle \text{(1)}\ \lim_{x \to 2}\,(x^2 + 3x - 1)

【解答】

(1) 多項式なので、 $x$ ${}=2$ をそのまま代入します。

\displaystyle \lim_{x \to 2}\,(x^2 + 3x - 1)

(2) $x$ ${}=1$ を代入すると分母も分子も $0$ になってしまう（ $\frac{0}{0}$ の形）ので、先に約分します。

\displaystyle \frac{x^2 - 1}{x - 1}

よって

\displaystyle \lim_{x \to 1}\frac{x^2 - 1}{x - 1}

※ $x$ は $1$ に「近づくだけ」で $1$ そのものにはならないので、 $x$ ${}-1$ ${}\neq 0$ として約分できます。

平均変化率

次に、「区間全体でならした変化の割合」を考えます。

公式2：平均変化率

関数 $f(x)$ について、 $x$ が $a$ から $b$ まで変わるときの平均変化率は

\displaystyle \frac{f(b) - f(a)}{b - a}

グラフでいうと、2点 $(a,\ f(a))$ ， $(b,\ f(b))$ を結ぶ直線の傾きです。

たとえば、車で2時間かけて100 km進んだら「平均時速50 km」です。途中で速くなったり遅くなったりしても、全体をならせば1時間あたり50 km。この「ならした変化の割合」が平均変化率です。

平均変化率とは、区間全体をならした「変化の速さ」のことだということです。

例題2：平均変化率を求める

関数 $f(x)$ ${}= x^2$ について、 $x$ が $1$ から $3$ まで変わるときの平均変化率を求めなさい。

【解答】

$f(3)$ ${}= 9$ ， $f(1)$ ${}= 1$ なので

\displaystyle \frac{f(3) - f(1)}{3 - 1}

グラフ上の2点 $(1,\ 1)$ と $(3,\ 9)$ を結ぶ直線の傾きが $4$ である、ということです。

微分係数

平均変化率の区間をどんどん狭くしていくと、「その瞬間の変化の割合」にたどり着きます。これが微分係数です。

公式3：微分係数の定義

関数 $f(x)$ の $x$ ${}= a$ における微分係数 $f'(a)$ は

\displaystyle f'(a)

$h$ は「区間の幅」。 $a$ から $a$ ${}+h$ までの平均変化率を作り、幅 $h$ を $0$ に近づけます。
意味は「 $x$ ${}=a$ における瞬間の変化率」。グラフでは $x$ ${}=a$ における接線の傾きを表します。

下の図は $y$ ${}= x^2$ のグラフです。2点を結ぶ直線（点線）の傾きが平均変化率で、2点をどんどん近づけていくと、直線は1点で触れる接線（実線）に近づきます。この接線の傾きが微分係数です。

車の例でいえば、平均変化率が「2時間の平均時速」なのに対し、微分係数は「スピードメーターがいま指している値」です。区間を限りなく短くした、その一瞬の速さにあたります。

微分係数とは、平均変化率の区間を限りなく縮めてできる「瞬間の変化率」のことだということです。

例題3：定義に従って微分係数を求める

関数 $f(x)$ ${}= x^2$ について、微分係数 $f'(2)$ を定義に従って求めなさい。

【解答】

定義の式に $a$ ${}= 2$ を入れます。 $f(2+h)$ ${}= (2+h)^2$ ${}= 4$ ${}+ 4h$ ${}+ h^2$ ， $f(2)$ ${}= 4$ なので

\displaystyle \frac{f(2+h) - f(2)}{h}

よって

\displaystyle f'(2)

これは「 $y$ ${}= x^2$ のグラフの $x$ ${}=2$ における接線の傾きが $4$ 」という意味でもあります。

基礎確認問題（全5問）

まずは公式をそのまま使う、ごく簡単な問題で確認しましょう。

問1

$\displaystyle \lim_{x \to 1}\,(x + 4)$ を求めなさい。

つまずいたときは：

答えを見る

答え

$\underline{5}$ （ $x$ ${}=1$ を代入）

自己採点：

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問2

$\displaystyle \lim_{x \to 2} x^2$ を求めなさい。

つまずいたときは：

答えを見る

答え

$\underline{4}$ （ $x$ ${}=2$ を代入）

自己採点：

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問3

$\displaystyle \lim_{h \to 0}\,(5 + h)$ を求めなさい。

つまずいたときは：

答えを見る

答え

$\underline{5}$ （ $h$ ${}=0$ を代入）

自己採点：

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問4

関数 $f(x)$ ${}= 2x$ について、 $x$ が $1$ から $3$ まで変わるときの平均変化率を求めなさい。

つまずいたときは：

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答え

$\dfrac{f(3)-f(1)}{3-1}$ ${}= \dfrac{6-2}{2}$ ${}= \underline{2}$

自己採点：

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問5

関数 $f(x)$ ${}= x^2$ について、 $x$ が $0$ から $2$ まで変わるときの平均変化率を求めなさい。

つまずいたときは：

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答え

$\dfrac{f(2)-f(0)}{2-0}$ ${}= \dfrac{4-0}{2}$ ${}= \underline{2}$

自己採点：

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実践問題（全20問）

難易度マークは ★＝基礎、★★＝標準、★★★＝入試レベルです。★から順に取り組みましょう。

問1　★

$\displaystyle \lim_{x \to 2}\,(3x^2 - 5x + 1)$ を求めなさい。

つまずいたときは：

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答え

$3$

解説

多項式なので $x$ ${}= 2$ を代入します。

\displaystyle \lim_{x \to 2}\,(3x^2 - 5x + 1)

自己採点：

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問2　★

$\displaystyle \lim_{h \to 0}\,(12 + 6h + h^2)$ を求めなさい。

つまずいたときは：

答えを見る

答え

$12$

解説

$h$ ${}= 0$ を代入します。

\displaystyle \lim_{h \to 0}\,(12 + 6h + h^2)

自己採点：

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問3　★

$\displaystyle \lim_{x \to -1}\,(x^3 + 2x^2 - x)$ を求めなさい。

つまずいたときは：

答えを見る

答え

$2$

解説

$x$ ${}= -1$ を代入します。

\displaystyle \lim_{x \to -1}\,(x^3 + 2x^2 - x)

自己採点：

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問4　★

$\displaystyle \lim_{x \to 3}\frac{x^2 - 9}{x - 3}$ を求めなさい。

つまずいたときは：

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答え

$6$

解説

$x$ ${}= 3$ を代入すると $\frac{0}{0}$ の形になるので、先に約分します。

\displaystyle \frac{x^2 - 9}{x - 3}

自己採点：

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問5　★

$\displaystyle \lim_{x \to -2}\frac{x^2 + 5x + 6}{x + 2}$ を求めなさい。

つまずいたときは：

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答え

$1$

解説

分子を因数分解して約分します。

\displaystyle \frac{x^2 + 5x + 6}{x + 2}

自己採点：

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問6　★

関数 $f(x)$ ${}= 3x^2$ について、 $x$ が $1$ から $2$ まで変わるときの平均変化率を求めなさい。

つまずいたときは：

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答え

$9$

解説

$f(2)$ ${}= 12$ ， $f(1)$ ${}= 3$ なので

\displaystyle \frac{f(2) - f(1)}{2 - 1}

自己採点：

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問7　★

関数 $f(x)$ ${}= x^2$ ${}- 4x$ について、 $x$ が $0$ から $4$ まで変わるときの平均変化率を求めなさい。

つまずいたときは：

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答え

$0$

解説

$f(4)$ ${}= 16$ ${}- 16$ ${}= 0$ ， $f(0)$ ${}= 0$ なので

\displaystyle \frac{f(4) - f(0)}{4 - 0}

途中で値は変化していますが、行きと帰りが打ち消し合って「ならすとゼロ」になっています。平均変化率 $0$ は「変化していない」という意味ではない点に注意しましょう。

自己採点：

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問8　★

関数 $f(x)$ ${}= x^2$ について、微分係数 $f'(3)$ を定義に従って求めなさい。

つまずいたときは：

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答え

$f'(3)$ ${}= 6$

解説

$f(3+h)$ ${}= (3+h)^2$ ${}= 9$ ${}+ 6h$ ${}+ h^2$ ， $f(3)$ ${}= 9$ なので

\displaystyle \frac{f(3+h) - f(3)}{h}

自己採点：

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問9　★★

$\displaystyle \lim_{x \to 1}\frac{x^3 - 1}{x - 1}$ を求めなさい。

つまずいたときは：

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答え

$3$

解説

$x^3$ ${}- 1$ ${}= (x-1)(x^2 + x + 1)$ と因数分解できるので

\displaystyle \frac{x^3 - 1}{x - 1}

自己採点：

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問10　★★

$\displaystyle \lim_{h \to 0}\frac{(2+h)^2 - 4}{h}$ を求めなさい。

つまずいたときは：

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答え

$4$

解説

分子を展開して整理します。

\displaystyle \frac{(2+h)^2 - 4}{h}

この式は、じつは $f(x)$ ${}= x^2$ の微分係数 $f'(2)$ の定義式そのものです。

自己採点：

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問11　★★

$\displaystyle \lim_{x \to 2}\frac{x^2 - x - 2}{x^2 - 4}$ を求めなさい。

つまずいたときは：

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答え

$\dfrac{3}{4}$

解説

分子・分母をそれぞれ因数分解します。

\displaystyle \frac{x^2 - x - 2}{x^2 - 4}

自己採点：

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問12　★★

関数 $f(x)$ ${}= x^2$ ${}+ ax$ について、 $x$ が $1$ から $3$ まで変わるときの平均変化率が $6$ となるように、定数 $a$ の値を定めなさい。

つまずいたときは：

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答え

$a$ ${}= 2$

解説

$f(3)$ ${}= 9$ ${}+ 3a$ ， $f(1)$ ${}= 1$ ${}+ a$ なので、平均変化率は

\displaystyle \frac{f(3) - f(1)}{3 - 1}

これが $6$ に等しいので $4$ ${}+ a$ ${}= 6$ ，すなわち $\underline{a = 2}$ 。

自己採点：

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問13　★★

関数 $f(x)$ ${}= 2x^2$ ${}- 3x$ について、微分係数 $f'(a)$ を定義に従って求めなさい。

つまずいたときは：

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答え

$f'(a)$ ${}= 4a$ ${}- 3$

解説

$f(a+h)$ ${}= 2(a+h)^2$ ${}- 3(a+h)$ ${}= 2a^2$ ${}+ 4ah$ ${}+ 2h^2$ ${}- 3a$ ${}- 3h$ なので

\displaystyle \frac{f(a+h) - f(a)}{h}

よって

\displaystyle f'(a)

自己採点：

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問14　★★

関数 $f(x)$ ${}= x^3$ について、微分係数 $f'(1)$ を定義に従って求めなさい。

つまずいたときは：

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答え

$f'(1)$ ${}= 3$

解説

$(1+h)^3$ ${}= 1$ ${}+ 3h$ ${}+ 3h^2$ ${}+ h^3$ を使います。

\displaystyle \frac{f(1+h) - f(1)}{h}

よって

\displaystyle f'(1)

自己採点：

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問15　★★

関数 $f(x)$ ${}= x^2$ について、 $x$ が $1$ から $1$ ${}+h$ まで変わるときの平均変化率を $h$ の式で表しなさい。また、 $h$ ${}\to 0$ のときの極限が $f'(1)$ に一致することを確かめなさい。

つまずいたときは：

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答え

平均変化率は $2$ ${}+ h$ 。 $h$ ${}\to 0$ で $2$ となり、 $f'(1)$ ${}= 2$ と一致する。

解説

$f(1+h)$ ${}= 1$ ${}+ 2h$ ${}+ h^2$ ， $f(1)$ ${}= 1$ なので、平均変化率は

\displaystyle \frac{f(1+h) - f(1)}{(1+h) - 1}

$h$ ${}\to 0$ とすると $2$ ${}+ h$ ${}\to 2$ 。一方、定義から求めた $f'(1)$ もまったく同じ計算で $2$ になるので、両者は一致します。「平均変化率の区間をつぶした極限が微分係数」という関係を式で確かめる問題でした。

自己採点：

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問16　★★

$\displaystyle \lim_{x \to 0}\frac{(x+3)^2 - 9}{x}$ を求めなさい。

つまずいたときは：

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答え

$6$

解説

分子を展開して整理します。

\displaystyle \frac{(x+3)^2 - 9}{x}

自己採点：

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問17　★★★

等式 $\displaystyle \lim_{x \to 1}\frac{x^2 + ax + b}{x - 1}$ $\displaystyle {}= 3$ が成り立つように、定数 $a,$ $\ b$ の値を定めなさい。

つまずいたときは：

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答え

$a$ ${}= 1,$ $b$ ${}= -2$

解説

$x$ ${}\to 1$ のとき分母 $x$ ${}- 1$ ${}\to 0$ です。それでも極限値が $3$ という有限の値になるためには、分子も $0$ に近づくことが必要です（分子が $0$ 以外の値に近づくと、極限は発散してしまいます）。よって

\displaystyle 1

これを分子に代入すると

\displaystyle x^2

と因数分解できるので

\displaystyle \lim_{x \to 1}\frac{(x-1)(x + a + 1)}{x - 1}

これが $3$ に等しいので $a$ ${}= 1$ ，そして $b$ ${}= -2$ 。

\displaystyle \underline{\rule[-0.1944em]{0em}{0.8889em}a = 1,}

（検算： $\frac{x^2 + x - 2}{x-1}$ ${}= \frac{(x-1)(x+2)}{x-1}$ ${}= x$ ${}+2$ ${}\to 3$ で確かに成立します。）

自己採点：

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問18　★★★

関数 $f(x)$ ${}= x^2$ ${}- 3x$ ${}+ 1$ について、 $\displaystyle \lim_{h \to 0}\frac{f(2+h) - f(2-h)}{h}$ を求めなさい。

つまずいたときは：

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答え

$2$

解説

$f(2+h)$ と $f(2-h)$ をそれぞれ計算します。

\displaystyle f(2+h)

よって

\displaystyle \frac{f(2+h) - f(2-h)}{h}

なお、この形の極限は一般に $2f'(a)$ に等しくなります（区間 $[a-h,\ a+h]$ の幅が $2h$ であるため）。実際 $f'(2)$ ${}= 1$ で、 $2f'(2)$ ${}= 2$ と一致しています。

自己採点：

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問19　★★★

関数 $f(x)$ ${}= x^3$ ${}- 2x$ について、微分係数 $f'(a)$ を定義に従って求めなさい。また、 $f'(a)$ ${}= 1$ となる $a$ の値をすべて求めなさい。

つまずいたときは：

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答え

$f'(a)$ ${}= 3a^2$ ${}- 2$ ， $a$ ${}= \pm 1$

解説

まず定義から $f'(a)$ を求めます。 $(a+h)^3$ ${}= a^3$ ${}+ 3a^2h$ ${}+ 3ah^2$ ${}+ h^3$ より

\displaystyle f(a+h)

\displaystyle \frac{f(a+h) - f(a)}{h}

次に $f'(a)$ ${}= 1$ とすると

\displaystyle 3a^2

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問20　★★★

等式 $\displaystyle \lim_{x \to 2}\frac{x^3 + ax + b}{x - 2}$ $\displaystyle {}= 8$ が成り立つように、定数 $a,$ $\ b$ の値を定めなさい。

つまずいたときは：

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答え

$a$ ${}= -4,$ $b$ ${}= 0$

解説

問17と同じ考え方です。 $x$ ${}\to 2$ で分母 $\to 0$ なのに極限が有限値 $8$ なので、分子も $0$ に近づく必要があります。

\displaystyle 8

これを分子に代入すると

\displaystyle x^3

と因数分解できるので

\displaystyle \lim_{x \to 2}\,\left(x^2 + 2x + a + 4\right)

これが $8$ に等しいので $a$ ${}= -4$ ，そして $b$ ${}= 0$ 。

\displaystyle \underline{\rule[-0.1944em]{0em}{0.8889em}a = -4,}

（検算： $\frac{x^3 - 4x}{x - 2}$ ${}= \frac{x(x-2)(x+2)}{x-2}$ ${}= x(x+2)$ ${}\to 2 \cdot 4$ ${}= 8$ で成立します。）

自己採点：

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数学小話コーナー

微分積分はだれが発明した？ニュートン vs ライプニッツ

17世紀、微分積分はほぼ同じ時期に、イギリスのニュートンとドイツのライプニッツという2人の天才によって、それぞれ独立に生み出されました。ところが「どちらが先か」をめぐって、支持者たちを巻き込んだ数学史上有名な大論争が勃発します。調査に乗り出したイギリス王立協会はニュートンに軍配を上げましたが、実はそのときの会長はニュートン本人。公平とは言いがたい判定でした。現在では「2人が独立に発明した」というのが定説です。

豆知識

今わたしたちが使う積分記号 $\int$ や、微分の $\dfrac{dy}{dx}$ という書き方はライプニッツが考えたものです。イギリスはニュートン流の記号にこだわり続けたため、その後の解析学の発展でヨーロッパ大陸に後れを取ったと言われています（※諸説あり）。記号の「使いやすさ」が数学の進歩を左右した、という面白い例です。

2400年前の「極限」クイズ：アキレスと亀

古代ギリシャの哲学者ゼノンは、こんなパズルを残しました。「俊足のアキレスは、少し先からスタートした亀に永遠に追いつけない。アキレスが亀のいた場所に着くころ、亀は少し先に進んでいる。またその場所に着くころ、亀はさらに少し先へ……これが無限に繰り返されるからだ」——もちろん現実にはすぐ追いつけますよね。

このナゾを解くカギが、この章で学んだ極限です。「追いつくまでの無限回のステップ」にかかる時間はどんどん短くなり、全部足してもある一定の値に近づいて収束します。つまり無限に繰り返しても、かかる時間は有限。2400年前のパラドックスは、極限の考え方で見事に説明できるのです。

スピードメーターは「微分」を表示している

車のスピードメーターが指す「時速60km」は、この章で学んだ**微分係数（瞬間の変化率）**の考え方そのものです。また、スマホの地図アプリが出す移動速度は、GPSで測った位置の変化をごく短い時間で割って計算しています。これはまさに「区間の短い平均変化率で瞬間の速さを近似する」という、微分係数の定義と同じ発想。今日学んだことは、毎日ポケットの中で動いているのです。

厳密定義（発展）

※ここは発展ページです。高校の範囲では「限りなく近づく」という直感的な理解で十分ですが、「近づくって、厳密にはどういうこと？」が気になる人のために、大学数学で使われる正確な定義を紹介します。難しい内容ですが、深く知りたい人にはオススメです。

定義1：関数の極限（

\varepsilon

–

\delta

論法）

$\displaystyle \lim_{x \to a} f(x)$ $\displaystyle {}= \alpha$ であるとは、次が成り立つことをいう。

どんな正の数 $\varepsilon$ （イプシロン）に対しても、ある正の数 $\delta$ （デルタ）をうまく選べば、

\displaystyle 0

とできる。

言葉にすると、「誤差の目標 $\varepsilon$ をどんなに厳しく（小さく）設定されても、 $x$ を $a$ に十分近づけさえすれば（距離 $\delta$ 以内）、 $f(x)$ と $\alpha$ のズレを目標 $\varepsilon$ より小さくできる」という意味です。「限りなく近づく」というあいまいな言葉を、誤差と距離の不等式だけで言い換えているのがポイントです。なお、 $0$ ${}< |x-a|$ という条件は「 $x$ ${}= a$ そのものは考えない」ことを表しており、これは高校で学ぶ「 $x$ は $a$ と異なる値をとりながら近づく」に対応しています。

定理1：極限の基本性質

$\displaystyle \lim_{x \to a} f(x)$ $\displaystyle {}= \alpha$ ， $\displaystyle \lim_{x \to a} g(x)$ $\displaystyle {}= \beta$ のとき、次が成り立つ。

$\displaystyle \lim_{x \to a}\,\{f(x) \pm g(x)\}$ $\displaystyle {}= \alpha$ $\displaystyle {}\pm \beta$ （複号同順）
$\displaystyle \lim_{x \to a}\,k f(x)$ $\displaystyle {}= k\alpha$ （ $k$ は定数）
$\displaystyle \lim_{x \to a}\,f(x)\,g(x)$ $\displaystyle {}= \alpha\beta$
$\displaystyle \lim_{x \to a}\frac{f(x)}{g(x)}$ $\displaystyle {}= \frac{\alpha}{\beta}$ （ただし $\beta$ ${}\neq 0$ ）

これらはすべて $\varepsilon$ – $\delta$ 論法から証明できる。本章で「多項式は代入すればよい」としたのは、この性質の帰結である。

定義2：微分係数の同値な表現

$x$ ${}= a$ ${}+ h$ と置き換えることで、微分係数は次の2通りに書ける（両者は同値）。

\displaystyle f'(a)

右の形は「2点 $(a,\ f(a))$ ， $(x,\ f(x))$ を結ぶ直線の傾きの極限」という図形的な意味がそのまま見える表現である。この極限が存在するとき、 $f(x)$ は $x$ ${}= a$ で微分可能であるという。

定理2：微分可能ならば連続

関数 $f(x)$ が $x$ ${}= a$ で微分可能ならば、 $f(x)$ は $x$ ${}= a$ で連続である。すなわち $\displaystyle \lim_{x \to a} f(x)$ $\displaystyle {}= f(a)$ が成り立つ。

証明　 $x$ ${}\neq a$ のとき

\displaystyle f(x)

と変形できる。 $x$ ${}\to a$ のとき、右辺の第1因子は $f'(a)$ に、第2因子は $0$ に近づくので、定理1（積の極限）より

\displaystyle \lim_{x \to a}\,\{f(x) - f(a)\}

すなわち $\displaystyle \lim_{x \to a} f(x)$ $\displaystyle {}= f(a)$ 。（証明終）

**注意：逆は成り立ちません。**連続でも微分可能とは限らない例として $f(x)$ ${}= |x|$ があります。 $x$ ${}= 0$ でグラフはつながっています（連続）が、左から近づくと傾き $-1$ 、右から近づくと傾き $+1$ で一致しないため、 $x$ ${}= 0$ での微分係数は存在しません。グラフが「カクッ」と折れている点では微分できない、と覚えておくとよいでしょう。

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第1章 極限と微分係数

関数の極限

平均変化率

微分係数

基礎確認問題（全5問）

実践問題（全20問）

数学小話コーナー

厳密定義（発展）

第1章　極限と微分係数